Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點P為線段AC上一點，點Q在線段AB的延長線上，CP=BQ，連接PQ交BC于點D，點P關于BC的對稱點為E，連接AE．

（1）依題意補全圖1；

（2）求證：D是PQ的中點；

（3）用等式表示AE和PQ的數量關系，并證明．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3），理由見解析

【解析】

（1）根據題意畫圖即可；

（2）連接EQ，過點D作DF⊥EQ，設PE及哦啊BC于點G，先證四邊形CEQB是平行四邊形，得到BC∥EQ，再求∠PEQ=90°得到四邊形EGDF是矩形，根據對稱證得DF=PE，得到DF是△PEQ的中位線，由此得到結論；

（3）設AP=a，PC=CE=b，利用勾股定理求出，，即可得到結論.

（1）如圖：

（2）連接EQ，過點D作DF⊥EQ，設PE交BC于點G，

∵AB=AC，∠BAC=90°，

∴∠ACB=∠ABC=45°，

∵點P關于BC的對稱點為E，

∴∠BCE=∠ACB=∠ABC=45°，PC=CE，

∴CE∥AB，

∵BQ=PC=CE，

∴四邊形CEQB是平行四邊形，

∴BC∥EQ，

∴∠CEQ=∠CBQ=180°-45°=135°，

∵∠PCE=45°+45°=90°，PC=CE，

∴∠CEP=45°，

∴∠PEQ=90°，即PE⊥EQ，

∵DF⊥EQ，

∴PE∥DF，

∴四邊形EGDF是平行四邊形，

∵∠GEF=90°，

∴四邊形EGDF是矩形，

∴DF=EG,

由對稱得PG=EG，

∴DF=PE，

∴DF是△PEQ的中位線，

∴點D是PQ的中點；

（3）；

設AP=a，PC=CE=b，

在Rt△ACE中，,

∴；

在Rt△PEQ中，，

∵， ，

∴，

∴,

∴.