Question

【題目】如圖1，直線l⊥AB于點B，點C在AB上，且AC：CB=2：1，點M是直線l上的動點，作點B關于直線CM的對稱點B′，直線AB′與直線CM相交于點P，連接PB．

（1）如圖2，若點P與點M重合，則∠PAB= ， 線段PA與PB的比值為

（2）如圖3，若點P與點M不重合，設過P，B，C三點的圓與直線AP相交于D，連接CD，求證：①CD=CB′；②PA=2PB

（3）如圖4，若AC=2，BC=1，則滿足條件PA=2PB的點都在一個確定的圓上，在以下小題中選做一題：
①如果你能發現這個確定的圓的圓心和半徑，那么不必寫出發現過程，只要證明這個圓上的任意一點Q，都滿足QA=2QB；
②如果你不能發現這個確定的圓的圓心和半徑，那么請取出幾個特殊位置的P點，如點P在直線AB上，點P與點M重合等進行探究，求這個圓的半徑．

Answer 1

【答案】
（1）30°；2
（2）

證明：①∵B關于直線CM的對稱點為點B′，

∴△PBC沿PC翻折得到△PB′C，

∴∠PB′C=∠PBC，

∵∠CDB′=∠CBP，

∴∠CDB′=∠CB′D，

∴CD=CB′；

②作B′E∥PC交AC于E，連結BB′交PC于F，如圖3，

∵B關于直線CM的對稱點為點B′，

∴FB=FB′，PB=PB′，

而CF∥B′E，

∴BC=CE，

∵AC=2BC，

∴AE=EC，

而B′E∥PC，

∴AB′=PB′，

∴PA=2PB′=2PB

（3）

解：選①．

證明：作B′E∥QC交AC于E，連結BB′交QC于F，如圖4，

∵B關于直線CM的對稱點為點B′，

∴FB=FB′，QB=QB′，

而CF∥B′E，

∴BC=CE，

∵AC=2BC，

∴AE=EC，

而B′E∥QC，

∴AB′=QB′，

∴PA=2QB′=2QB．

【解析】（1）如圖2，根據對稱性質得△PBC沿PC翻折得到△PB′C，根據折疊性質得CB′=CB，∠PB′C=∠PBC=90°，由于AC：CB=2：1，則AC=2CB′，然后在Rt△AB′C中，利用正弦定義可計算出∠A=30°，再利用含30度的直角三角形三邊的關系易得PA=2PB；
（2）①與（1）一樣可得∠PB′C=∠PBC，再根據圓內接四邊形的性質得∠CDB′=∠CBP，所以∠CDB′=∠CB′D，于是根據等腰三角形的判定得到CD=CB′；
②作B′E∥PC交AC于E，連結BB′交PC于F，如圖3，利用對稱性質得FB=FB′，PB=PB′，而CF∥B′E，則CF為△BEB′的中位線，所以BC=CE，加上AC=2BC，所以AE=EC，然后利用B′E∥PC，則AB′=PB′，所以PA=2PB′=2PB；
（3）選①進行證明，作B′E∥QC交AC于E，連結BB′交QC于F，如圖4，與（2）中②的證明方法一樣．