Question

【題目】如圖，在等邊 中， ， ， ，點 從點 出發沿 方向運動，連接 ，以 為邊，在 右側按如圖方式作等邊 ，當點P從點E運動到點A時，求點F運動的路徑長？

Answer 1

【答案】8

【解析】

連結DE，作FH⊥BC于H，如圖，根據等邊三角形的性質得∠B=60°，過D點作DE′⊥AB，則BE′=BD=2，則點E′與點E重合，所以∠BDE=30°，DE= ，接著證明△DPE≌△FDH得到FH=DE=2，于是可判斷點F運動的路徑為一條線段，此線段到BC的距離為2，當點P在E點時，作等邊三角形DEF1，則DF1⊥BC，當點P在A點時，作等邊三角形DAF2，作F2Q⊥BC于Q，則△DF2Q≌△ADE，所以DQ=AE=8，所以F1F2=DQ=8，于是得到當點P從點E運動到點A時，點F運動的路徑長為8．

連結DE，作FH⊥BC于H，如圖，

∵△ABC為等邊三角形，
∴∠B=60°，
過D點作DE′⊥AB，則BE′=BD=2，
∴點E′與點E重合，
∴∠BDE=30°，DE=BE=2，
∵△DPF為等邊三角形，
∴∠PDF=60°，DP=DF，
∴∠EDP+∠HDF=90°
∵∠HDF+∠DFH=90°，
∴∠EDP=∠DFH，
在△DPE和△FDH中，
，
∴△DPE≌△FDH，
∴FH=DE=2，
∴點P從點E運動到點A時，點F運動的路徑為一條線段，此線段到BC的距離為2，
當點P在E點時，作等邊三角形DEF1，∠BDF1=30°+60°=90°，則DF1⊥BC，
當點P在A點時，作等邊三角形DAF2，作F2Q⊥BC于Q，則△DF2Q≌△ADE，所以DQ=AE=10-2=8，
∴F1F2=DQ=8，
∴當點P從點E運動到點A時，點F運動的路徑長為8．