Question

【題目】如圖，在Rt△BCD中，∠CBD=90°，BC=BD，點A在CB的延長線上，且BA=BC，點E在直線BD上移動，過點E作射線EF⊥EA，交CD所在直線于點F．

（1）當點E在線段BD上移動時，如圖（1）所示，求證：AE=EF；

（2）當點E在直線BD上移動時，如圖（2）、圖（3）所示，線段AE與EF又有怎樣的數量關系？請直接寫出你的猜想，不需證明．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）AE=EF，證明見解析.

【解析】

（1）如圖1中，在BA上截取BH，使得BH=BE．證明△AHE≌△EDF，根據全等三角形的性質可得AE=EF；（2）如圖2中，在BC上截取BH=BE，類比（1）的方法可證AE=EF；如圖3中，在BA上截取BH，使得BH=BE．類比（1）的方法可證AE=EF．

（1）證明：如圖1中，在BA上截取BH，使得BH=BE．

∵BC=AB=BD，BE=BH，

∴AH=ED，

∵∠AEF=∠ABE=90°，

∴∠AEB+∠FED=90°，∠AEB+∠BAE=90°，

∴∠FED=∠HAE，

∵∠BHE=∠CDB=45°，

∴∠AHE=∠EDF=135°，

∴△AHE≌△EDF，

∴AE=EF．

（2）如圖2中，在BC上截取BH=BE，同法可證：AE=EF

如圖3中，在BA上截取BH，使得BH=BE．同法可證：AE=EF．