Question

【題目】（1）如圖1，已知△ABC為等邊三角形，動點D在邊AC上，動點P在邊BC上，若這兩點分別從C、B點同時出發，以相同的速度由C向A和由B向C運動，連結AP、BD交于Q，兩點運動的過程中，AP＝BD成立嗎？請證明你的結論．

（2）如果把原題中的“動點D在邊AC上，動點P在邊BC上，”改為：“動點D在射線CA上、動點P在射線BC上運動，”其他條件不變，如圖2所示，AP＝BD還成立嗎？說明理由，并求出∠BQP的大小．

（3）如果把原題中的“動點P在邊BC上”，改為“動點P在射線AB上運動”，連結DP交BC于E，其他條件不變，如圖3，則動點D、P在運動過程中，請你寫出DE與PE的數量關系．

Answer 1

【答案】（1）成立，理由見解析；（2）AP＝BD成立，理由見解析, 60°；（3）DE＝PE，理由見解析.

【解析】

（1）根據等邊三角形的性質得到∠C＝∠ABP＝60°，AB＝BC，證明△ABP≌△BCD，根據全等三角形的性質解答；

（2）證明△ABP≌△BCD，根據全等三角形的性質得到AP＝BD，根據三角形的外角的性質求出∠BQP；

（3）作DH∥AB交BC于H，得到△CDH為等邊三角形，得到DH＝CD，證明△HDE≌△BPE，根據全等三角形的性質證明．

解：（1）成立，

證明：∵△ABC是等邊三角形，

∴∠C＝∠ABP＝60°，AB＝BC，

由題意得，CD＝BP，

在△ABP和△BCD中，

，

∴△ABP≌△BCD，

∴AP＝BD；

（2）AP＝BD成立，

理由如下：由題意得，CP＝AD，

∴CP+BC＝AD+AC，即BP＝CD，

在△ABP和△BCD中，

，

∴△ABP≌△BCD，

∴AP＝BD，∠APB＝∠BDC，

∵∠APC+∠PAC＝∠ACB＝60°，∠DAQ＝∠PAC，

∴∠BQP＝∠DAQ+∠BDC＝60°；

（3）DE＝PE，

理由如下：作DH∥AB交BC于H，

∵△ABC為等邊三角形，DH∥AB

∴∠CDH＝∠A＝60°，∠CHD＝∠CBA＝60°，∠HDE＝∠P，

∴△CDH為等邊三角形，

∴DH＝CD，

∵CD＝BP，

∴DH＝BP，

在△HDE和△BPE中，

，

∴△HDE≌△BPE，

∴DE＝PE．