Question

【題目】已知拋物線y＝﹣x2+2kx﹣k2+k+3（k為常數）的頂點縱坐標為4．

（1）求k的值；

（2）設拋物線與直線y＝﹣（x﹣3）（m≠0）兩交點的橫坐標為x1，x2，n＝x1+x2﹣2，若A（1，a），B（b，）兩點在動點M（m，n）所形成的曲線上，求直線AB的解析式；

（3）將（2）中的直線AB繞點（3，0）順時針旋轉45°，與拋物線x軸上方的部分相交于點C，請直接寫出點C的坐標．

Answer 1

【答案】（1）1；（2）；（3）（2，3）．

【解析】

（1）利用配方法即可解決問題；

（2）由題意，方程-x2+2x+3=-(x-3)的兩實數根分別為x1，x2，整理得，，推出x1+x2=+2，由n＝x1+x2﹣2，推出n=+2-2=，即動點M（m，n）所形成的曲線為y=，由A（1，a），B（b，）兩點在該曲線上，推出A（1，1），B（2，），再利用待定系數法即可解決問題；

（3）由直線AB的解析式為y＝﹣x+，A（1，1），推出點D（3，0）在直線AB上，取點E（2，3），則AE＝AD＝，ED＝，推出AE2+AD2＝ED2，推出∠EAD＝90°，由AE＝AD，推出∠ADE＝45°，可得直線ED的解析式為y＝﹣3x+9，構建方程組即可求出點C坐標.

（1）y＝﹣x2+2kx﹣k2+k+3＝﹣（x﹣k）2+k+3，

∵頂點縱坐標為4，

∴k+3＝4，

∴k＝1；

（2）∵k＝1，

∴拋物線為y＝﹣x2+2x+3，

由題意，方程-x2+2x+3=-(x-3)的兩實數根分別為x1，x2，

整理得，，

∴x1+x2=+2，

∵n＝x1+x2﹣2，

∴n=+2-2=，

即動點M（m，n）所形成的曲線為y=，

∵A（1，a），B（b，）兩點在該曲線上，

∴A（1，1），B（2，），

設直線AB解析式為y＝k'x+b'，把A（1，1），B（2，）代入得，，

解得，

∴直線AB的解析式為y＝﹣x+；

（3）如圖，

∵直線AB的解析式為y＝﹣x+，A（1，1），

∴點D（3，0）在直線AB上，

取點E（2，3），則AE＝AD＝，ED＝，

∴AE2+AD2＝ED2，

∴∠EAD＝90°，

∵AE＝AD，

∴∠ADE＝45°，

∵設直線DE解析式為y＝k″x+b″，把D（3，0），E（2，3）代入得，，

解得，

∴直線ED的解析式為y＝﹣3x+9，

由，解得或，

∵D（3，0），

∴C（2，3）．