Question

【題目】如圖，為的直徑，點在上，延長至點，使，延長與的另一個交點為，連接，．

求證：；

若，，求的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）．

【解析】

（1）由AB為⊙O的直徑，易證得AC⊥BD，又由DC=CB，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，可證得AD=AB，即可得：∠B=∠D，根據(jù)同弧或等弧所對的圓周角相等即可得出結(jié)論；

（2）首先設BC=x，則AC=x﹣2，由在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，可得方程：（x﹣2）2+x2=42，解此方程即可求得CB的長．在△DCE中，根據(jù)等角對等邊得到CD=CE，即可得出結(jié)論．

（1）∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，∴AC⊥BC．

又∵DC=CB，∴AD=AB，∴∠B=∠D．

∵∠E=∠B，∴∠E=∠D．

（2）設BC=x，則AC=x﹣2．在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，∴（x﹣2）2+x2=42，解得：x1=1+，x2=1﹣（舍去），∴BC=1+．

∵∠D=∠E，∴CD=CE．

∵CD=CB，∴CE=CB=1+．