Question

【題目】已知Rt△ABC，∠C＝90°，AB＝10，且cosA＝. M為線段AB的中點， 作DM⊥AB交AC于D. 點Q在線段AC上，點P在線段BC上，以PQ為直徑的圓始終過點M， 且PQ交線段DM于點E.

⑴ 試說明△AMQ∽△PME；

⑵ 當△PME是等腰三角形時，求出線段AQ的長.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）5或

【解析】(1) 連接MC ,根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，得到MC=MA=AB，由同弧所對的圓周角相等推出∠A=∠EPM ,再利用同角的余角相等，即可求解; (2)分三種情況討論：當AM=AQ時; 當QA=QM時； 當MQ=AM時.

⑴ 連接MC,

∵∠C=90°,M是AB中點， ∴MC=MA=,

∴∠A=∠MCA,

∵∠MCA=∠EPM， ∴∠A=∠EPM.

∵PQ為直徑 ,

∴∠PMQ=90°.

∴∠PME+∠QME =90°.

∵DM⊥AB,

∴∠AMD=90°.∴∠AMQ +∠QME =90°.

∴∠AMQ=∠PME，

∴△AMQ∽△PME

⑵AB=10，M為線段AB的中點，∴AM=5，AD===

當△AMQ等腰三角形時，△MPE也是等腰三角形.

當AM=AQ時，AQ=5;

當QA=QM時，AQ=；

由題意MQ≠.

綜上所述,當△MPE是等腰三角形時，線段AQ長為或.