Question

【題目】已知：如圖，在平面直角坐標系中，是直角三角形，，點的坐標分別為，

(1)求過點的直線的函數表達式

(2)在軸上找一點，連接，使得與相似（不包括全等），并求點的坐標；

(3)在⑵的條件下，如分別是和上的動點，連接，設，問是否存在這樣的使得與相似，如果存在，請求出的值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1) y=x+; (2) D（，0）；(3)

【解析】

（1）設過點A(-3,0)，B(1,3)的直線的函數表達式為y=kx+b，

由 0=k×(-3)+b ，

3=k+b

解得k=,b=，

∴直線AB的函數表達式為y=x+.

(2)如圖，過點B作BD⊥AB，交x軸于點D，

在Rt△ABC和Rt△ADB中，

∵∠BAC=∠DAB，

∴Rt△ABC∽Rt△ADB，

∴D點為所求，

又tan∠ADB=tan∠ABC=，

∴CD=BC÷tan∠ADB=3÷=，

∴OD=OC+CD=，∴D（，0）；

(3)這樣的m存在．

在Rt△ABC中，由勾股定理得AB=5，

如圖，

當PQ∥BD時，△APQ∽△ABD，則，

解得m=，

如圖，

當PQ⊥AD時，△APQ∽△ADB，

則

解得m=．