Question

【題目】如圖，拋物線 與x軸交于A，B兩點，與y軸交于C點，且A（﹣1，0）．

（1）求拋物線的解析式及頂點D的坐標；
（2）判斷△ABC的形狀，證明你的結論；
（3）點M（m，0）是x軸上的一個動點，當MC+MD的值最小時，求m的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵點A（﹣1，0）在拋物線 上，

解得

∴拋物線的解析式為 ．

∴頂點D的坐標為

（2）

解：當x=0時y=﹣2，∴C（0，﹣2），OC=2． 當y=0時， ，∴x1=﹣1，x2=4，∴B （4，0）

∴OA=1，OB=4，AB=5．

∵AB2=25，AC2=OA2+OC2=5，BC2=OC2+OB2=20，

∴AC2+BC2=AB2．∴△ABC是直角三角形．

（3）

解： 作出點C關于x軸的對稱點C′，則C′（0，2），OC′=2，

連接C′D交x軸于點M，根據軸對稱性及兩點之間線段最短可知，MC+MD的值最小．

解法一：設拋物線的對稱軸交x軸于點E．

∵ED∥y軸，∴∠OC′M=∠EDM，∠C′OM=∠DEM

∴△C′OM∽△DEM．

∴

∴ ，

∴ ．

解法二：設直線C′D的解析式為y=kx+n，

則 ，

解得： ．

∴ ．

∴當y=0時， ， ．

∴ ．

【解析】（1）把A點的坐標代入拋物線解析式，求b的值，即可得出拋物線的解析式，根據頂點坐標公式，即可求出頂點坐標；（2）根據直角三角形的性質，推出AC2=OA2+OC2=5，BC2=OC2+OB2=20，即AC2+BC2=25=AB2 ， 即可確定△ABC是直角三角形；（3）作出點C關于x軸的對稱點C′，則C′（0，2），OC'=2．連接C'D交x軸于點M，根據軸對稱性及兩點之間線段最短可知，MC+MD的值最小．首先確定最小值，然后根據三角形相似的有關性質定理，求m的值