Question

【題目】東坡商貿(mào)公司購進某種水果的成本為20元/kg，經(jīng)過市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)，這種水果在未來48天的銷售單價p（元/kg）與時間t（天）之間的函數(shù)關系式為p= 且其日銷售量y（kg）與時間t（天）的關系如表：

時間t（天）	1	3	6	10	20	40	…
日銷售量y（kg）	118	114	108	100	80	40	…

（1）已知y與t之間的變化規(guī)律符合一次函數(shù)關系，試求在第30天的日銷售量是多少？
（2）問哪一天的銷售利潤最大？最大日銷售利潤為多少？
（3）在實際銷售的前24天中，公司決定每銷售1kg水果就捐贈n元利潤（n＜9）給“精準扶貧”對象．現(xiàn)發(fā)現(xiàn)：在前24天中，每天扣除捐贈后的日銷售利潤隨時間t的增大而增大，求n的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）

解：設y=kt+b，把t=1，y=118；t=3，y=114代入得到：

解得 ，

∴y=﹣2t+120．

當t=30時，y=60

即第30日的日銷量為60千克。

（2）

解：設第x天的銷售利潤為w元．

當1≤t≤24時，由題意w=（﹣2t+120）（ t+30﹣20）=﹣ （t﹣10）2+1250，

∴t=10時 w最大值為1250元．

當25≤t≤48時，w=（﹣2t+120）（（﹣ t+48﹣20）=t2﹣108t+2880，

∵對稱軸x=54，a=1＞0，

∴在對稱軸左側(cè)w隨x增大而減小，

∴x=25時，w最大值=805，

綜上所述第10天利潤最大，最大利潤為1250元．

（3）

解：設每天扣除捐贈后的日銷售利潤為m元．

由題意m=（﹣2t+120）（ t+30﹣20）﹣（﹣2t+120）n=﹣ t2+（10+2n）t+1200﹣120n，

∵在前24天中，每天扣除捐贈后的日銷售利潤隨時間t的增大而增大，

∴﹣ ≥24，

∴n≥7．

又∵n＜9，

∴n的取值范圍為7≤n＜9．

【解析】此題主要考查了二次函數(shù)的應用，熟練掌握各函數(shù)的性質(zhì)和圖象特征，針對所給條件作出初步判斷后需驗證其正確性，最值問題需由函數(shù)的性質(zhì)求解時，正確表達關系式是關鍵．（1）設y=kt+b，利用待定系數(shù)法即可解決問題．（2）日利潤=日銷售量×每公斤利潤，據(jù)此分別表示前24天和后24天的日利潤，根據(jù)函數(shù)性質(zhì)求最大值后比較得結(jié)論．（3）列式表示前24天中每天扣除捐贈后的日銷售利潤，根據(jù)函數(shù)性質(zhì)求n的取值范圍．
【考點精析】認真審題，首先需要了解一次函數(shù)的性質(zhì)(一般地，一次函數(shù)y=kx+b有下列性質(zhì)：（1）當k>0時，y隨x的增大而增大（2）當k<0時，y隨x的增大而減小)．