Question

【題目】如圖1，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，△ABD是等邊三角形，E是AB的中點，連接CE并延長交AD于F．
（1）求證：①△AEF≌△BEC；②四邊形BCFD是平行四邊形；
（2）如圖2，將四邊形ACBD折疊，使D與C重合，HK為折痕，求sin∠ACH的值．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：①在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，

∴∠ABC=60°．

在等邊△ABD中，∠BAD=60°，

∴∠BAD=∠ABC=60°．

∵E為AB的中點，

∴AE=BE．

又∵∠AEF=∠BEC，

∴△AEF≌△BEC．

②在△ABC中，∠ACB=90°，E為AB的中點，

∴CE= AB，BE= AB．

∴CE=AE，

∴∠EAC=∠ECA=30°，

∴∠BCE=∠EBC=60°．

又∵△AEF≌△BEC，

∴∠AFE=∠BCE=60°．

又∵∠D=60°，

∴∠AFE=∠D=60°．

∴FC∥BD．

又∵∠BAD=∠ABC=60°，

∴AD∥BC，即FD∥BC．

∴四邊形BCFD是平行四邊形

；

證明：①在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，

∴∠ABC=60°．

在等邊△ABD中，∠BAD=60°，

∴∠BAD=∠ABC=60°．

∵E為AB的中點，

∴AE=BE．

又∵∠AEF=∠BEC，

∴△AEF≌△BEC．

②在△ABC中，∠ACB=90°，E為AB的中點，

∴CE= AB，BE= AB．

∴CE=AE，

∴∠EAC=∠ECA=30°，

∴∠BCE=∠EBC=60°．

又∵△AEF≌△BEC，

∴∠AFE=∠BCE=60°．

又∵∠D=60°，

∴∠AFE=∠D=60°．

∴FC∥BD．

又∵∠BAD=∠ABC=60°，

∴AD∥BC，即FD∥BC．

∴四邊形BCFD是平行四邊形

；證明：①在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，

∴∠ABC=60°．

在等邊△ABD中，∠BAD=60°，

∴∠BAD=∠ABC=60°．

∵E為AB的中點，

∴AE=BE．

又∵∠AEF=∠BEC，

∴△AEF≌△BEC．

②在△ABC中，∠ACB=90°，E為AB的中點，

∴CE= AB，BE= AB．

∴CE=AE，

∴∠EAC=∠ECA=30°，

∴∠BCE=∠EBC=60°．

又∵△AEF≌△BEC，

∴∠AFE=∠BCE=60°．

又∵∠D=60°，

∴∠AFE=∠D=60°．

∴FC∥BD．

又∵∠BAD=∠ABC=60°，

∴AD∥BC，即FD∥BC．

∴四邊形BCFD是平行四邊形

（2）

解：∵∠BAD=60°，∠CAB=30°，

∴∠CAH=90°．

在Rt△ABC中，∠CAB=30°，設BC=a，

∴AB=2BC=2a．

∴AD=AB=2a．

設AH=x，則HC=HD=AD﹣AH=2a﹣x，

在Rt△ABC中，AC2=（2a）2﹣a2=3a2，

在Rt△ACH中，AH2+AC2=HC2，即x2+3a2=（2a﹣x）2，

解得x= a，即AH= a．∴HC=2a﹣x=2a﹣ a= a．∴sin∠ACH= ．

；

解：∵∠BAD=60°，∠CAB=30°，

∴∠CAH=90°．

在Rt△ABC中，∠CAB=30°，設BC=a，

∴AB=2BC=2a．

∴AD=AB=2a．

設AH=x，則HC=HD=AD﹣AH=2a﹣x，

在Rt△ABC中，AC2=（2a）2﹣a2=3a2，

在Rt△ACH中，AH2+AC2=HC2，即x2+3a2=（2a﹣x）2，

解得x= a，即AH= a．∴HC=2a﹣x=2a﹣ a= a．∴sin∠ACH= ．

；解：∵∠BAD=60°，∠CAB=30°，

∴∠CAH=90°．

在Rt△ABC中，∠CAB=30°，設BC=a，

∴AB=2BC=2a．

∴AD=AB=2a．

設AH=x，則HC=HD=AD﹣AH=2a﹣x，

在Rt△ABC中，AC2=（2a）2﹣a2=3a2，

在Rt△ACH中，AH2+AC2=HC2，即x2+3a2=（2a﹣x）2，

解得x= a，即AH= a．∴HC=2a﹣x=2a﹣ a= a．∴sin∠ACH= ．
【解析】（1）①在△ABC中，由已知可得∠ABC=60°，從而推得∠BAD=∠ABC=60°．由E為AB的中點，得到AE=BE．又因為∠AEF=∠BEC，所以△AEF≌△BEC．②在Rt△ABC中，E為AB的中點，則CE= AB，BE= AB，得到∠BCE=∠EBC=60°．由△AEF≌△BEC，得∠AFE=∠BCE=60°．又∠D=60°，得∠AFE=∠D=60度．所以FC∥BD，又因為∠BAD=∠ABC=60°，所以AD∥BC，即FD∥BC，則四邊形BCFD是平行四邊形．（2）在Rt△ABC中，設BC=a，則AB=2BC=2a，AD=AB=2a．設AH=x，則HC=HD=AD﹣AH=2a﹣x．在Rt△ABC中，由勾股定理得AC2=3a2 ． 在Rt△ACH中，由勾股定理得AH2+AC2=HC2 ， 即x2+3a2=（2a﹣x）2 ． 解得x= a，即AH= a．求得HC的值后，利用sin∠ACH=AH：HC求值．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解等邊三角形的性質的相關知識，掌握等邊三角形的三個角都相等并且每個角都是60°，以及對平行四邊形的判定的理解，了解兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；對角線互相平分的四邊形是平行四邊形．