Question

【題目】如圖，已知拋物線y=﹣x2+bx+c與y軸相交于點(diǎn)A（0，3），與x正半軸相交于點(diǎn)B，對(duì)稱(chēng)軸是直線x=1

（1）求此拋物線的解析式以及點(diǎn)B的坐標(biāo)．
（2）動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿x軸正方向運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿y軸正方向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)N點(diǎn)到達(dá)A點(diǎn)時(shí)，M、N同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．過(guò)動(dòng)點(diǎn)M作x軸的垂線交線段AB于點(diǎn)Q，交拋物線于點(diǎn)P，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．
①當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形OMPN為矩形．
②當(dāng)t＞0時(shí)，△BOQ能否為等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：

∵拋物線y=﹣x2+bx+c對(duì)稱(chēng)軸是直線x=1，

∴﹣ =1，解得b=2，

∵拋物線過(guò)A（0，3），

∴c=3，

∴拋物線解析式為y=﹣x2+2x+3，

令y=0可得﹣x2+2x+3=0，解得x=﹣1或x=3，

∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0）；

（2）

①由題意可知ON=3t，OM=2t，

∵P在拋物線上，

∴P（2t，﹣4t2+4t+3），

∵四邊形OMPN為矩形，

∴ON=PM，

∴3t=﹣4t2+4t+3，解得t=1或t=﹣ （舍去），

∴當(dāng)t的值為1時(shí)，四邊形OMPN為矩形；

②∵A（0，3），B（3，0），

∴OA=OB=3，且可求得直線AB解析式為y=﹣x+3，

∴當(dāng)t＞0時(shí)，OQ≠OB，

∴當(dāng)△BOQ為等腰三角形時(shí)，有OB=QB或OQ=BQ兩種情況，

由題意可知OM=2t，

∴Q（2t，﹣2t+3），

∴OQ= = ，BQ= = |2t﹣3|，

又由題意可知0＜t＜1，

當(dāng)OB=QB時(shí)，則有 |2t﹣3|=3，解得t= （舍去）或t= ；

當(dāng)OQ=BQ時(shí)，則有 = |2t﹣3|，解得t= ；

綜上可知當(dāng)t的值為 或 時(shí)，△BOQ為等腰三角形．

【解析】（1）由對(duì)稱(chēng)軸公式可求得b，由A點(diǎn)坐標(biāo)可求得c，則可求得拋物線解析式；再令y=0可求得B點(diǎn)坐標(biāo)；（2）①用t可表示出ON和OM，則可表示出P點(diǎn)坐標(biāo)，即可表示出PM的長(zhǎng)，由矩形的性質(zhì)可得ON=PM，可得到關(guān)于t的方程，可求得t的值；②由題意可知OB=OA，故當(dāng)△BOQ為等腰三角形時(shí)，只能有OB=BQ或OQ=BQ，用t可表示出Q點(diǎn)的坐標(biāo)，則可表示出OQ和BQ的長(zhǎng)，分別得到關(guān)于t的方程，可求得t的值．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸左邊，y隨x增大而減小；對(duì)稱(chēng)軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸左邊，y隨x增大而增大；對(duì)稱(chēng)軸右邊，y隨x增大而減小才能正確解答此題．