Question

【題目】如圖，在菱形中，點在對角線上，延長交于點.

（1）求證：；

（2）已知點在邊上，請以為邊，用尺規作一個與相似，并使得點在上.（只須作出一個，保留作圖痕跡，不寫作法）

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；

【解析】

（1）根據菱形的性質可得：，再根據相似三角形的判定即可證出，從而得出結論；

（2）根據菱形的性質，可得DA=DC，從而得出∠DAC=∠DCA，可得只需做∠CPQ=∠AEF或∠CPQ=∠AFE，即可得出與相似，然后用尺規作圖作∠CPQ=∠AEF或∠CPQ=∠AFE即可.

解：（1）∵四邊形是菱形，

∴.

∴.

∴.

（2）∵四邊形是菱形

∴DA=DC

∴∠DAC=∠DCA

∴只需做∠CPQ=∠AEF或∠CPQ=∠AFE，即可得出與相似，

尺規作圖如圖所示：

①作∠CPQ=∠AEF，步驟為：以點E為圓心，以任意長度為半徑，作弧，交EA和EF于點G、H，以P為圓心，以相同長度為半徑作弧，交CP于點M，以M為圓心，以GH的長為半徑作弧，兩弧交于點N，連接PN并延長，交AC于Q，就是所求作的三角形；

②作∠CPQ=∠AFE，作法同上；

或

∴就是所求作的三角形（兩種情況任選其一即可）.