Question

【題目】如圖①，雙曲線y＝（k≠0）和拋物線y＝ax2+bx（a≠0）交于A、B、C三點，其中B（3，1），C（﹣1，﹣3），直線CO交雙曲線于另一點D，拋物線與x軸交于另一點E．

（1）求雙曲線和拋物線的解析式；

（2）拋物線在第一象限部分是否存在點P，使得∠POE+∠BCD＝90°？若存在，請求出滿足條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由；

（3）如圖②，過B作直線l⊥OB，過點D作DF⊥l于點F，BD與OF交于點N，求的值．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式為：，雙曲線的解析式為：y＝．（2）存在點P（，1），使得∠POE+∠BCD＝90°．（3）.

【解析】

（1）根據拋物線y＝ax2+bx（a≠0）過B（3，1），C（﹣1，﹣3），代入計算即可得到拋物線的解析式. 把B（3，1）代入y＝（k≠0）計算可得雙曲線的解析式.

（2）根據B、C點的坐標計算BC所在的直線方程，根據直線方程可得與坐標軸的交點，因此可計算的OM的長度，再計算BO、CO的長度，可得tan∠COM，根據等量替換可得tan∠POE，設P點的橫坐標，即可表示縱坐標，進而計算的P點的坐標.

（3）首先根據C點的坐標，計算CO所在直線的解析式，再根據CO所在的直線與雙曲線的交點為D，計算D點的坐標，根據B點的坐標計算OB所在直線的斜率，進而計算直線l的解析式，再根據直線l和DF所在的直線交點為F，計算點F的坐標，進而計算DF的長度，再根據相似比例可得.

解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx（a≠0）過B（3，1），C（﹣1，﹣3），

∴ ，

解得： ，

∴拋物線的解析式為：y＝﹣x2+x，

把B（3，1）代入y＝（k≠0）得：1＝，

解得：k＝3，

∴雙曲線的解析式為：y＝．

（2）存在點P，使得∠POE+∠BCD＝90°；

∵B（3，1），C（﹣1，﹣3），設直線BC為y＝kx+n，

∴ ，

解得k＝1，n＝﹣2，

∴直線BC為：y＝x﹣2，

∴直線BC與坐標軸的交點（2，0），（0，﹣2），

過O作OM⊥BC，則OM＝，

∵B（3，1），C（﹣1，﹣3），

∴OB＝OC＝，

∴BM＝

∴tan∠COM＝，

∵∠COM+∠BCD＝90°，∠POE+∠BCD＝90°，

∴∠POE＝∠COM，

∴tan∠POE＝2，

∵P點是拋物線上的點，設P（m，﹣m2+m），

∴ ，

解得：m＝，

∴P（，1）．

綜上所述，存在點P（，1），使得∠POE+∠BCD＝90°．

（3）∵直線CO過C（﹣1，﹣3），

∴直線CO的解析式為y＝3x，

解 ，

解得，

∴D（1，3），

∵B（3，1），

∴直線OB的斜率＝ ，

∵直線l⊥OB，過點D作DF⊥l于點F，

∴DF∥OB，

∴直線l的斜率＝﹣3，直線DF的斜率＝ ，

∵直線l過B（3，1），直線DF過D（1，3），

∴直線l的解析式為y＝﹣3x+10，直線DF解析式為y＝x+，

解 ，

解得 ，

∴F（，），

∴DF＝＝ ，

∵DF∥OB，OB＝ ，

∴△DNF∽△BNO，

∴ ．