Question

【題目】如圖1，拋物線y＝ax2+c（a≠0）與x軸交于點A和點B（，0），與y軸交于點C（0，2），點P（2，t）是該拋物線上一點．

（1）求此拋物線的解析式及t的值；

（2）若點D是y軸上一點，線段PD繞點D逆時針旋轉90°后，點P的對應點P′恰好也落在此拋物線上，求點D的坐標；

（3）如圖2，直線l：y＝kx+b交該拋物線于M、N兩點，且滿足MC⊥NC，設點P到直線l的距離是d，求d的最大值．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+2，t＝﹣2；（2）點D的坐標為（0，﹣1）或（0，﹣4）；（3）當∠RPK＝0°時，d取得最大值為．

【解析】

（1）已知拋物線上的點B、C坐標，用待定系數法即求得解析式；把P的橫坐標代入解析式，即求得縱坐標t的值；

（2）按點P'在y軸左側或右側畫出兩種情況的圖形，分別作點P、P'與y軸的垂線段PE、P'F，易證△DFP'≌△PED，由全等三角形對應邊相等，可用含d的式子表示P'F與FD，進而用d表示點P'的坐標，即可求解；

（3）tan∠CNH=tan∠GCM，即：，即：，-x1x2=4-2y1-2y2+y1y2，整理得：b2-3b+2=0，解得：b=1，即可求解．

解：（1）∵拋物線y＝ax2+c過點B（，0）與點C（0，2），

∴ 解得：，

∴拋物線解析式為y＝﹣x2+2，

∵點P（2，t）是該拋物線上一點，

∴t＝﹣4+2＝﹣2；

（2）過點P作PE⊥y軸于點E，過點P'作P'F⊥y軸于點F，

∴∠PED＝∠DFP'＝90°，

∵P（2，﹣2），

∴PE＝2，OE＝2，

設D（0，d），

①若d＞﹣2，即點D在點P上方，則點P'在y軸右側，如圖1，

∴DE＝d﹣（﹣2）＝d+2，

∵PD繞點D逆時針旋轉90°得到P'D，

∴∠PDP'＝90°，PD＝P'D，

∴∠FDP'+∠PDE＝∠FDP'+∠DP'F＝90°，

∴∠PDE＝∠DP'F，

在△DFP'與△PED中，，

∴△DFP'≌△PED（AAS），

∴DF＝PE＝2，FP'＝DE＝d+2，

∴P'（d+2，d+2），

∵點P'也在拋物線上，

∴﹣（d+2）2+2＝d+2，

解得：d1＝﹣4（舍去），d2＝﹣1，

∴D（0，﹣1），

②若d＜﹣2，即點D在點P下方，則點P'在y軸左側，如圖2，

∴DE＝﹣2﹣d，

同理可證：△DFP'≌△PED，

∴DF＝PE＝2，FP'＝DE＝﹣2﹣d，

∴P'（d+2，d+2），

∴﹣（﹣d﹣2）2+2＝d+2，

解得：d1＝﹣4，d2＝﹣1（舍去），

∴D（0，﹣4），

綜上所述，點D的坐標為（0，﹣1）或（0，﹣4）；

（3）設點M、N的坐標分別為：（x1，y1）、（x2、y2），直線l與y軸交于點R，

聯立y＝﹣x2+2，y＝kx+b并整理得：

x2+kx+（b﹣2）＝0，

x1+x2＝﹣k，x1x2＝b﹣2，

y1＝kx1+b，y2＝kx2+b，

故點C作x軸的平行線GH，分別過點M、N作y軸的平行線交GH于點G、H，

∵MC⊥NC，∴∠GCM+∠HCN＝90°，∠HCN+∠CNH＝90°，

∴∠CNH＝∠GCM，

∴tan∠CNH＝tan∠GCM，即：，

即：，

﹣x1x2＝4﹣2y1﹣2y2+y1y2，其中x1+x2＝﹣k，x1x2＝b﹣2，y1＝kx1+b，y2＝kx2+b，

整理得：b2﹣3b+2＝0，整理得：b＝1或2（舍去2），

故：b＝1，

則點R（0，1），而點P（2，﹣2），

過點P作PK⊥l交于點K，

則d＝PK＝RPcos∠RPK，

當∠RPK＝0°時，d取得最大值為：PR＝．