Question

【題目】（1）操作發現：

如圖①，在Rt△ABC中，∠C=2∠B=90°，點D是BC上一點，沿AD折疊△ADC，使得點C恰好落在AB上的點E處．請寫出AB、AC、CD之間的關系 ；

（2）問題解決：

如圖②，若（1）中∠C≠90°，其他條件不變，請猜想AB、AC、CD之間的關系，并證明你的結論；

（3）類比探究：

如圖③，在四邊形ABCD中，∠B=120°，∠D=90°，AB=BC，AD=DC，連接AC，點E是CD上一點，沿AE折疊，使得點D正好落在AC上的F處，若BC=，直接寫出DE的長．

Answer 1

【答案】（1）AB=AC+CD；（2）AB=AC+CD；證明見試題解析；（3）DE的長為．

【解析】

試題本題考查了折疊的性質：折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等．也考查了等腰三角形的性質和解直角三角形．（1）如圖①，設CD=t，由∠C=2∠B=90°易得△ABC為等腰直角三角形，則AC=BC，AB=AC，再根據折疊的性質得DC=DE，∠AED=∠C=90°，又可判斷△BDE為等腰直角三角形，所以BD=DE，則BD=t，AC=BC=t+t=（+1）t，AB=（+1）t=t，從而得到AB=AC+CD；（2）如圖②，根據折疊的性質得DC=DE，∠AED=∠C，AE=AC，而∠C=2∠B，則∠AED=2∠B，根據三角形外角性質得∠AED=∠B+∠BDE，所以∠B=∠BDE，則EB=ED，所以ED=CD，于是得到AB=AE+BE=AC+CD；（3）作BH⊥AC于H，如圖③，設DE=x，利用（1）的結論得AC=x，根據等腰三角形的性質由BA=BC，∠CBA=120°得到∠BCA=∠BAC=30°，且CH=AH=AC=x，在Rt△BCH中，利用30度的余弦得cos30°==，即x=，然后解方程求出x即可．

試題解析：（1）如圖①，設CD=t，∵∠C=2∠B=90°，∴∠B=45°，∠BAC=45°，∴△ABC為等腰直角三角形，∴AC=BC，AB=AC，∵AD折疊△ADC，使得點C恰好落在AB上的點E處，∴DC=DE，∠AED=∠C=90°，

∴△BDE為等腰直角三角形，∴BD=DE，∴BD=t，∴AC=BC=t+t=（+1）t，∴AB=（+1）t=t，∴AB=AC+CD；

（2）AB=AC+CD．理由如下：如圖②，∵AD折疊△ADC，使得點C恰好落在AB上的點E處，∴DC=DE，∠AED=∠C，AE=AC，∵∠C=2∠B，∴∠AED=2∠B，而∠AED=∠B+∠BDE，∴∠B=∠BDE，∴EB=ED，

∴ED=CD，∴AB=AE+BE=AC+CD；

（3）作BH⊥AC于H，如圖③，設DE=x，由（1）的結論得AC=x，∵BA=BC，∠CBA=120°，∴∠BCA=∠BAC=30°，∵BH⊥AC，∴CH=AH=AC=x，在Rt△BCH中，cos30°==，

∴x=，解得x=，即DE的長為．