Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，OA=7，OC=18，將點C先向上平移7個單位，再向左平移4個單位，得到點B，連接AB，BC．

（1）填空：點B的坐標為；
（2）如圖2，BF平分∠ABC交x軸于點F，CD平分∠BCO交BF于點D，過點F作FH⊥BF交BC的延長線于點H，試判斷DC與FH的位置關系，并說明理由；

（3）若點P從點C出發以每秒2個單位長度的速度沿CO方向移動，同時點Q從點O出發以每秒1個單位長度的速度沿OA方向移動，設移動的時間為t秒（0＜t＜7），四邊形OPBA與△OQB的面積分別記為S1，S2，是否存在一段時間，使S1＜2S2？若存在，求出t的取值范圍；若不存在，試說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）（14,7）
（2）解：結論：PC∥FH．

理由如下：∵BF平分∠ABC

∴∠FBC= ∠ABC

∵CD平分∠BCO，

∴∠BCD= ∠BCO

依題意得A（0，7），B（14，7），

∴AB⊥y軸，

∴AB∥OC

∴∠ABC+∠BCO=180°

∴∠FBC+∠BCD= ∠ABC+ ∠BCO= （∠ABC+∠BCO）= ×180°=90°，

∴∠BPC=180°﹣（∠FBC+∠BCP）=90°

∴CD⊥BF，

∵FH⊥BF

∴DC∥FH．

（3）解：存在

如圖3中，由（1）得B（14，7）

由題意得：PC=2t，OQ=t，則OP=18﹣2t，A（0，7），C（18，0），

S1= （AB+OP）×OA= （14+18﹣2t）×7=﹣7t+112（6分）

S2= t×14=7t（7分）

∵要滿足S1＜2S2

∴﹣7t+112＜2×7t（8分）

t＞ ，

又∵0＜t＜7

∴當 ＜t＜7時，S1＜2S2．

【解析】（1）根據左減上加的平移規則可得B點坐標為（14，7）；（2）平行線間的同旁內角的角平分分線互相垂直，通過轉化證得CD與BF垂直；（3）建立關于t的面積表達式，由已知建立不等式，求出t的范圍.

【考點精析】解答此題的關鍵在于理解翻折變換（折疊問題）的相關知識，掌握折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，對稱軸是對應點的連線的垂直平分線，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和角相等，以及對坐標與圖形變化-平移的理解，了解新圖形的每一點，都是由原圖形中的某一點移動后得到的，這兩個點是對應點；連接各組對應點的線段平行且相等．