Question

【題目】如圖，已知直線經(jīng)過點(diǎn)，交x軸于點(diǎn)A，y軸于點(diǎn)B，F為線段AB的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)C從原點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)位長度的速度沿y軸正方向運(yùn)動(dòng)，連接FC，過點(diǎn)F作直線FC的垂線交x軸于點(diǎn)D，設(shè)點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．

當(dāng)時(shí)，求證：；

連接CD，若的面積為S，求出S與t的函數(shù)關(guān)系式；

在運(yùn)動(dòng)過程中，直線CF交x軸的負(fù)半軸于點(diǎn)G，是否為定值？若是，請求出這個(gè)定值；若不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）.

【解析】

（1）連接OF，根據(jù)“直線經(jīng)過點(diǎn)”可得k=1，進(jìn)而求出A（﹣4,0），B（0,4），得出△AOB是等腰直角三角形，得出∠CBF=45°，得出OF= AB=BF，OF⊥AB，得出∠OFD=∠BFC，證得△BCF≌△ODF，即可得出結(jié)論

（2）①根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得出0＜t＜4時(shí)，BC=OD=t﹣4，再根據(jù)勾股定理得出CD2=2t2-8t+16，證得△FDC是等腰直角三角形，得出，即可得出結(jié)果；

②同理當(dāng)t≥4時(shí)，得出BC＝OD＝t﹣4，由勾股定理得出CD2＝OD2+OC2＝2t2﹣8t+16，證出△FDC是等腰直角三角形，得出FC2CD2，即可得出結(jié)果；

（3）由待定系數(shù)法求出直線CF的解析式，當(dāng)y＝0時(shí)，可得出G,因此OG，求出即可．

證明：連接OF，如圖1所示：

直線經(jīng)過點(diǎn)，

，解得：，

直線，

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；

，，

，

，

是等腰直角三角形，

，

為線段AB的中點(diǎn)，

，，，

，

，

，

，

在和中，，

≌，

；

解：當(dāng)時(shí)，連接OF，如圖2所示：

由題意得：，，

由得：≌，

，

，

，，

是等腰直角三角形，

，

的面積；

當(dāng)時(shí)，連接OF，如圖3所示：

由題意得：，，

由得：≌，

，

，

，，

是等腰直角三角形，

，

的面積；

綜上所述，S與t的函數(shù)關(guān)系式為；

解：為定值；理由如下：

當(dāng)時(shí)，如圖4所示：

當(dāng)設(shè)直線CF的解析式為，

，，F為線段AB的中點(diǎn)，

，

把點(diǎn)代入得：，

解得：，

直線CF的解析式為，

當(dāng)時(shí)，，

，

，

；

當(dāng)時(shí)，如圖5所示：

同得：；

綜上所述，為定值．