Question

【題目】如圖，已知AB⊥BC，CD⊥BC，AB=4，CD=2．P為線段BC上的點(diǎn)，設(shè)BC=m．

⑴若m=9，

①若△BAP∽△CDP，求線段BP的長(zhǎng)；

②若△BAP∽△CPD，求線段BP的長(zhǎng)；

⑵試求m為何值時(shí)，使得△BAP與△CDP相似的點(diǎn)P有且只有2個(gè)．

Answer 1

【答案】（1）①6；②8或1；（2）m=6或4

【解析】

（1）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；

（2）①當(dāng)△BAP與△CDP都是等腰直角三角形時(shí)，兩三角形相似，于是得到結(jié)果；

②當(dāng)根據(jù)相似三角形的性質(zhì)和一元二次方程根的判別式即可得到結(jié)論．

（1）∵BC=9，∴PC=9﹣BP．

①∵△BAP∽△CDP，∴，即，解得：BP=6；

②∵△BAP∽△CPD，∴，即，解得：BP=8或1；

（2）①當(dāng)△BAP與△CDP都是等腰直角三角形時(shí)，兩三角形相似，此時(shí)∠BPA=∠CPD=45°，則BP+PC=BC=AB+CD=6；

②當(dāng)∠BAP=∠CPD時(shí)，△BAP∽△CPD，∴，即，∴BP2﹣mBP+8=0，∴△=m2﹣32=0，∴m=±4（負(fù)值舍去），∴m=4．

綜上所述：當(dāng)m=6或4時(shí)，△BAP與△CDP相似的點(diǎn)P有且只有2個(gè)．