Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=ax2﹣2x+c與直線y=﹣x+3分別交于x軸、y軸上的B、C兩點，拋物線的頂點為點D，聯結CD交x軸于點E．

（1）求拋物線的解析式以及點D的坐標；

（2）求tan∠BCD；

（3）點P在直線BC上，若∠PEB=∠BCD，求點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）D（4，﹣1）；（2）；（3）點P（，）或（12，﹣3）．

【解析】分析：（1）直接利用待定系數法求出二次函數解析式進而得出答案；

（2）利用銳角三角函數關系得出EC，BF的長，進而得出答案；

（3）分別利用①點P在x軸上方，②點P在x軸下方，分別得出點P的坐標．

詳解：（1）由題意得B（6，0），C（0，3），

把B（6，0）C（0，3）代入y=ax2-2x+c

得，

解得：，

∴拋物線的解析式為：y=x2-2x+3

=（x2-8x）+3

=（x-4）2-1，

∴D（4，-1）；

（2）可得點E（3，0），

OE=OC=3，∠OEC=45°，

過點B作BF⊥CD，垂足為點F

在Rt△OEC中，EC=，

在Rt△BEF中，BF=BEsin∠BEF=，

同理，EF=，

∴CF=+=，

在Rt△CBF中，tan∠BCD=；

（3）設點P（m，m+3）

∵∠PEB=∠BCD，

∴tan∠PEB=tan∠BCD=，

①點P在x軸上方

∴，

解得：m＝，

∴點P（，），

②點P在x軸下方

∴，

解得：m=12，

∴點P（12，-3），

綜上所述，點P（，）或（12，-3）．