Question

【題目】如圖1，已知拋物線y＝（x+1）（x﹣3）（m為常數，且m＞0）經過點c（0，﹣），與x軸交于點A、B（點A位于點B的左側）．

（1）請直接寫出m的值及點A、點B的坐標；

（2）請你探究：在直線BC上是否存在點P，使以P、A、B為頂點的三角形與△BOC相似？若存在，請求出AP的長；若不存在，說明理由．

（3）如圖2，點D（2，﹣），連接AD，拋物線上是否存在點Q，使∠BAQ＝2∠BAD，若存在，請直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）m＝，A（﹣1，0），B（3，0）；（2）存在，AP的長為2或；（3）存在，點Q的坐標為（0，﹣）或（6，7）．

【解析】

（1）將點C的坐標代入解析式y＝（x+1）（x﹣3）即可求出m的值，令y＝0，即可求出A，B的橫坐標；

（2）分情況討論，當以點P為直角頂點時，證△ABC為直角三角形，且與△BOC相似，所以點P與點C重合；當以點A為直角頂點時，過點A作x軸的垂線，交BC于點P，由相似的性質求出AP的長度即可；當以點B為直角頂點時，不存在；

（3）分情況討論，先求出∠BAD＝30°，當點Q在x軸下方時，求出∠BAC＝60°，則點Q與點C重合；當點Q在x軸上方時，作點C關于x軸的對稱點E，直線AE與拋物線在x軸上方的交點即為點Q．

（1）將點C（0，﹣）代入y＝（x+1）（x﹣3），

得，m＝，

∴拋物線解析式為：y＝（x+1）（x﹣3）＝x2﹣x﹣，

當y＝0時，x1＝﹣1，x2＝3，

∴A（﹣1，0），B（3，0）；

（2）存在點P，理由如下：

①在拋物線y＝x2﹣x﹣中，

當x＝0時，y＝﹣，

∴C（0，﹣），OC＝，

∴AC2＝AO2+CO2＝4，BC2＝BO2+CO2＝12，

又∵AB2＝42＝16，

∴AC2+BC2＝AB2，

∴△ABC是直角三角形，

∴∠ACB＝∠COB＝90°，

又∵∠OBC＝∠CBA，

∴△BOC∽△BCA，

即點P與點C重合，

∴AP＝AC＝ ＝2；

②過點A作AP⊥x軸，交直線BC于點P，

則AP∥OC，

∴△BAP∽△BOC，

∴，

∴，

∴AP＝，

綜上所述，AP的長為2或；

（3）存在點Q，理由如下：

如圖2，過點D作DH⊥x軸于點H，

則H（2，0），

①當點Q在x軸下方時，

DH＝，AH＝3，

∴在Rt△AHD中，

tan∠BAD＝，

∴∠BAD＝30°，

在Rt△AOC中，

tan∠BAC＝＝，

∴∠BAC＝60°，

∴∠BAC＝2∠BAD，

∴點Q與點C重合，

∴Q1（0，﹣）；

②當點Q在x軸上方時，

作點C關于x軸的對稱點E（0，），

則∠EAB＝∠CAB＝60°＝2∠BAD，

則直線AE與拋物線在x軸上方的交點即為點Q，

設直線AE的解析式為y＝kx+，

將點A（﹣1，0）代入，得

k＝，

∴yAE＝x+，

聯立，得x+＝x2﹣ x﹣，

解得，x1＝﹣1，x2＝6，

∴Q2（6，7），

綜上所述，點Q的坐標為（0，﹣）或（6，7）．