Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣x2+bx+c與直線AB交于A（﹣4，﹣4），B（0，4）兩點，直線AC：y=﹣ x﹣6交y軸于點C．點E是直線AB上的動點，過點E作EF⊥x軸交AC于點F，交拋物線于點G．

（1）求拋物線y=﹣x2+bx+c的表達式；
（2）連接GB，EO，當四邊形GEOB是平行四邊形時，求點G的坐標；
（3）①在y軸上存在一點H，連接EH，HF，當點E運動到什么位置時，以A，E，F，H為頂點的四邊形是矩形？求出此時點E，H的坐標；
②在①的前提下，以點E為圓心，EH長為半徑作圓，點M為⊙E上一動點，求 AM+CM它的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵點A（﹣4，﹣4），B（0，4）在拋物線y=﹣x2+bx+c上，

∴ ，

∴ ，

∴拋物線的解析式為y=﹣x2﹣2x+4；

（2）

解：設直線AB的解析式為y=kx+n過點A，B，

∴ ，

∴ ，

∴直線AB的解析式為y=2x+4，

設E（m，2m+4），

∴G（m，﹣m2﹣2m+4），

∵四邊形GEOB是平行四邊形，

∴EG=OB=4，

∴﹣m2﹣2m+4﹣2m﹣4=4，

∴m=﹣2，

∴G（﹣2，4）；

（3）

解：①如圖1，

由（2）知，直線AB的解析式為y=2x+4，

∴設E（a，2a+4），

∵直線AC：y=﹣ x﹣6，

∴F（a，﹣ a﹣6），

設H（0，p），

∵以點A，E，F，H為頂點的四邊形是矩形，

∵直線AB的解析式為y=2x+4，直線AC：y=﹣ x﹣6，

∴AB⊥AC，

∴EF為對角線，

∴ （﹣4+0）= （a+a）， （﹣4+p）= （2a+4﹣ a﹣6），

∴a=﹣2，P=﹣1，

∴E（﹣2，0）．H（0，﹣1）；

②如圖2，

由①知，E（﹣2，0），H（0，﹣1），A（﹣4，﹣4），

∴EH= ，AE=2 ，

設AE交⊙E于G，取EG的中點P，

∴PE= ，

連接PC交⊙E于M，連接EM，

∴EM=EH= ，

∴ = ，

∵ = ，

∴ = ，∵∠PEM=∠MEA，

∴△PEM∽△MEA，

∴ ，

∴PM= AM，

∴ AM+CM的最小值=PC，

設點P（p，2p+4），

∵E（﹣2，0），

∴PE2=（p+2）2+（2p+4）2=5（p+2）2，

∵PE= ，

∴5（p+2）2= ，

∴p=﹣ 或p=﹣ （由于E（﹣2，0），所以舍去），

∴P（﹣ ，﹣1），

∵C（0，﹣6），

∴PC= = ，

即： AM+CM= ．

【解析】（1）利用待定系數法求出拋物線解析式；（2）先利用待定系數法求出直線AB的解析式，進而利用平行四邊形的對邊相等建立方程求解即可；（3）①先判斷出要以點A，E，F，H為頂點的四邊形是矩形，只有EF為對角線，利用中點坐標公式建立方程即可；②先取EG的中點P進而判斷出△PEM∽△MEA即可得出PM= AM，連接CP交圓E于M，再求出點P的坐標即可得出結論．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解二次函數的圖象的相關知識，掌握二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點，以及對二次函數的性質的理解，了解增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小．