Question

【題目】如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=6．
（1）實踐操作：尺規作圖，不寫作法，保留作圖痕跡． ①作∠ABC的角平分線交AC于點D．
②作線段BD的垂直平分線，交AB于點E，交BC于點F，連接DE、DF．
（2）推理計算：四邊形BFDE的面積為

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖，DE、DF為所作；

（2）8
【解析】解：（2）∵∠C=90°，∠A=30°， ∴∠ABC=60°，AB=2BC=12，
∵BD為∠ABC的角平分線，
∴∠DBC=∠EBD=30°，
∵EF垂直平分BD，
∴FB=FD，EB=ED，
∴∠FDB=∠DBC=30°，∠EDB=∠EBD=30°，
∴DE∥BF，BE∥DF，
∴四邊形BEDF為平行四邊形，
而FB=FD，
∴四邊形BEDF為菱形，
在Rt△ADE中，DE= AE，
而AE=AB﹣BE，
∴12﹣BE= BE，解得BE=8，
在Rt△BDC中，CD= BC=2 ，
∴四邊形BFDE的面積= ×8×2 =8 ．
所以答案是8 ．
【考點精析】關于本題考查的線段垂直平分線的性質和含30度角的直角三角形，需要了解垂直于一條線段并且平分這條線段的直線是這條線段的垂直平分線；線段垂直平分線的性質定理：線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等；在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半才能得出正確答案．