Question

15、已知一次函數(shù)y₁=6x，二次函數(shù)y₂=3x²+3，是否存在二次函數(shù)y₃=x²+bx+c，其圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-4，1），且對(duì)于任意實(shí)數(shù)x的同一個(gè)值，這三個(gè)函數(shù)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y₁，y₂，y₃都有y₁≤y₂≤y₃成立？若存在，求出函數(shù)y₃的解析式；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：先假設(shè)存在這樣的實(shí)數(shù)a，則實(shí)數(shù)a也必須滿足y₁=y₂=y₃，所以，在足y₁=y₂的方程中求的點(diǎn)a的坐標(biāo)；然后將其代入y₃，再與二次函數(shù)y₃=x²+bx+c圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-4，1）這一條件，解得b、c的值，從而解得y₃的解析式；最后根據(jù)y₂≤y₃來(lái)解關(guān)于a的不等式，該不等式的值是a取任何實(shí)數(shù)，不等式都會(huì)成立，則存在這樣的實(shí)數(shù)a，反之，不存在這樣的實(shí)數(shù)a．即假設(shè)不成了．

解答：解：存在這樣的實(shí)數(shù)．
設(shè)該實(shí)數(shù)是a．
則y₁≤y₂，即6a≤3a²+3，
解得（a-1）²≥0，
∴a是任意實(shí)數(shù)，且當(dāng)a=1時(shí)取“=”；
當(dāng)a=1時(shí)，y=6，即點(diǎn)（1，6）滿足y₁≤y₂≤y₃，
將點(diǎn)（1，6）代入二次函數(shù)y₃=x²+bx+c，得
6=1+b+c，①
又∵二次函數(shù)y₃=x²+bx+c，其圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-4，1），
∴1=16-4b+c，②
由①②解得，
b=4，c=1，
∴函數(shù)y₃的解析式為：y=x²+4x+1；
∴3a²+3≤a²+4a+1，
解得，（a-1）²≤0，
顯而易見，這是錯(cuò)誤的，所以點(diǎn)a不適合．
所以，不存在這樣的任意實(shí)數(shù)a，使y₁≤y₂≤y₃成立．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征、待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式．解答此題時(shí)，采用了“反證法”來(lái)證明a的存在與否．