Question

【題目】已知四邊形ABCD是平行四邊形，以AB為直徑的⊙O經過點D，∠DAB=45°．
（1）如圖①，判斷CD與⊙O的位置關系，并說明理由；
（2）如圖②，E是⊙O上一點，且點E在AB的下方，若⊙O的半徑為3cm，AE=5cm，求點E到AB的距離．

Answer 1

【答案】
（1）解：（1）CD與圓O相切．

證明：如圖①，連接OD，

則∠AOD=2∠DAB=2×45°=90°，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB∥DC．

∴∠CDO=∠AOD=90°．

∴OD⊥CD．

∴CD與圓O相切．

（2）如圖②，作EF⊥AB于F，連接BE，

∵AB是圓O的直徑，

∴∠AEB=90°，AB=2×3=6．

∵AE=5，

∴BE= = ，

∵sin∠BAE= ．

∴ =

∴EF= ．

【解析】（1）連接OD，則∠AOD為直角，由四邊形ABCD是平行四邊形，則AB∥DC．從而得出∠CDO=90°，即可證出答案．（2）作EF⊥AB于F，連接BE，根據圓周角定理得∠AEB=90°，然后根據勾股定理求得BE，然后根據sin∠BAE= 求得EF即可．
【考點精析】關于本題考查的勾股定理的概念和切線的判定定理，需要了解直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；切線的判定方法：經過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線才能得出正確答案．