Question

17．如圖，在△ABC中，AB=AC，點D，E，F分別在AB，BC，AC邊上，且BE=CF，BD=CE．
（1）求證：DE=EF；
（2）當∠A=44°時，求∠DEF的度數；
（3）當∠A等于多少度時，△DEF成為等邊三角形？試證明你的結論．

Answer 1

分析 （1）根據AB=AC可得∠B=∠C，即可求證△BDE≌△CEF，即可解題；
（2）根據全等三角形的性質，得出∠BED=∠CFE，再根據三角形內角和定理以及平角的定義，即可求得∠DEF的度數；
（3）根據△DEF為等邊三角形，以及△BDE≌△CEF，可得∠C的度數，最后根據等腰三角形ABC，求得其頂角的度數．

解答 解：（1）∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵在△BDE和△CEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{BD=CE}\\{∠B=∠C}\\{BE=CF}\end{array}\right.$，
∴△BDE≌△CEF（SAS），
∴DE=EF；

（2）當∠A=44°時，∠B=∠C=$\frac{1}{2}$（180°-44°）=68°，
∵△BDE≌△CEF，
∴∠BED=∠CFE，
∵△CEF中，∠CEF+∠CFE=180°-68°=112°，
∴∠BED+∠CEF=112°，
∴∠DEF=180°-112°=68°；

（3）當∠A等于60度時，△DEF成為等邊三角形．
證明：若△DEF為等邊三角形，則∠DEF=60°，
∴∠BED+∠CEF=120°，
又∵△BDE≌△CEF，
∴∠BED=∠CFE，
∴△CEF中，∠CEF+∠CFE=120°，
∴∠C=180°-120°=60°=∠B，
∴△ABC中，∠A=180°-60°×2=60°．

點評 本題屬于三角形綜合題，主要考查了等腰三角形的性質，等邊三角形的判定與性質以及全等三角形的判定與性質的綜合應用，解決問題的關鍵是運用全等三角形的對應邊相等，對應角相等進行計算推導，解題時注意三角形的內角和等于180°．