Question

【題目】函數學習中，自變量取值范圍及相應的函數值范圍問題是大家關注的重點之一，請解決下面的問題．

(1)分別求出當2≤x≤4時，三個函數：y=2x+1，y= ,y=2(x-1)2+1的最大值和最小值．

(2)對于二次函數y=2(x-m)2+m-2，當2≤x≤4時有最小值為1，求m的值．

Answer 1

【答案】(1)見解析；(2)m=1或m=3.

【解析】

（1）根據函數值在取值范圍內的增減性，可求函數的最大值和最小值；

（2）分m＜2、2≤m≤4和m＞4三種情況考慮，根據二次函數的性質結合當2≤x≤4時有最小值為1即可得出關于m的一元二次方程（一元一次方程），解之即可得出結論．

解：（1）∵y=2x+1中k=2＞0，

∴y隨x的增大而增大，

∴當x=2時，y最小=5；當x=4時，y最大=9．

∵y=中k=2＞0，

∴在2≤x≤4中，y隨x的增大而減小，

∴當x=2時，y最大=1；當x=4時，y最小=．

∵y=2（x-1）2+1中a=2＞0，且拋物線的對稱軸為x=1，

∴在2≤x≤4中，y隨x的增大而增大，

∴當x=2時，y最小=3；當x=4時，y最大=19．

（2））①當m＜2時，當x=2時，y最小值為1，代入解析式，

得2（2-m）2+m-2=1，

解得：m1=1，m2=（舍去）；

②當2≤m≤4時，有m-2=1，

解得：m=3；

③當m＞4時，當x=4時，y最小值為1，代入解析式，

得2（4-m）2+m-2=1，

整理得：2m2-15m+29=0．

∵△=（-15）2-4×2×29=-7，無解．

∴m的值為1或3．