Question

【題目】如圖，AD是△ABC的中線，過點C作直線CF∥AD．

（問題）如圖①，過點D作直線DG∥AB交直線CF于點E，連結AE，求證：AB＝DE．

（探究）如圖②，在線段AD上任取一點P，過點P作直線PG∥AB交直線CF于點E，連結AE、BP，探究四邊形ABPE是哪類特殊四邊形并加以證明．

（應用）在探究的條件下，設PE交AC于點M．若點P是AD的中點，且△APM的面積為1，直接寫出四邊形ABPE的面積．

Answer 1

【答案】【問題】：詳見解析；【探究】：四邊形ABPE是平行四邊形，理由詳見解析；【應用】：8.

【解析】

（1）先根據平行線的性質和等量代換得出∠1＝∠3，再利用中線性質得到BD＝DC，證明△ABD≌△EDC，從而證明AB＝DE（2）方法一：過點D作DN∥PE交直線CF于點N，由平行線性質得出四邊形PDNE是平行四邊形，從而得到四邊形ABPE是平行四邊形.方法二: 延長BP交直線CF于點N，根據平行線的性質結合等量代換證明△ABP≌△EPN，

從而證明四邊形ABPE是平行四邊形（3）延長BP交CF于H，根據平行四邊形的性質結合三角形的面積公式求解即可.

證明：如圖①

是的中線，

（或證明四邊形ABDE是平行四邊形，從而得到）

【探究】

四邊形ABPE是平行四邊形．

方法一：如圖②，

證明：過點D作交直線于點，

∴四邊形是平行四邊形，

∵由問題結論可得

∴四邊形是平行四邊形．

方法二：如圖③，

證明：延長BP交直線CF于點N，

∵是的中線，

∴四邊形是平行四邊形．

【應用】

如圖④，延長BP交CF于H．

由上面可知，四邊形是平行四邊形，

∴四邊形APHE是平行四邊形，

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