Question

已知：如圖，BC為⊙O的直徑，AD⊥BC，垂足為D，

AB

=

AF

，BF和AD交于E，過A的切線交CB的延長線于G．
求證：（1）AE=BE；（2）AB²=BG•CF．

Answer 1

證明：（1）連接AC． （1分）
∵

AB

=

AF

，
∴∠ACB=∠ABF．（2分）
又∵∠ACB=90°-∠ABD=∠BAD，（3分）
∴∠BAE=∠ABE．
∴AE=BE． （4分）

（2）∵

AB

=

AF

，
∴∠GAB=∠ACF，（5分）
又∵∠ABG=∠CFA，（6分）
∴△ABG∽△CFA．
∴AB：BG=CF：AF． （8分）
又∵

AB

=

AF

，∴AB=AF．
∴

AB

BG

=

CF

AB

∴AB²=BG•CF． （9分）