Question

如圖，在⊙O中弦AB⊥CD于點E，過E作AC的垂線交BD于點Q，P為垂足，求證Q為BD的中點．

Answer 1

證明：∵AB⊥CD于點E，過E作AC的垂線交BD于點Q，
∴三角形ACE、三角形PCE、三角形APE、三角形BED都是直角三角形．
∴∠DEQ=∠CEP（對頂角相等）．
∠CEP=∠A（同角的余角相等）．
又∵∠A=∠D（同弧所對的圓周角相等），
∴∠DEQ=∠D，∴EQ=QD（等角對等邊）．
又∵∠QEB=∠B（等角的余角相等），
∴EQ=QB．
∴EQ=QD=QB，即Q為BD的中點．