Question

【題目】如圖1～4，在直角邊分別為3和4的直角三角形中，每多作一條斜邊上的高就增加一個三角形的內切圓，依此類推，圖10中有10個直角三角形的內切圓，它們的面積分別記為S1，S2，S3，…，S10，則S1+S2+S3+…+S10= ．

Answer 1

【答案】π．

【解析】

試題分析：（1）圖1，過點O做OE⊥AC，OF⊥BC，垂足為E、F，則∠OEC=∠OFC=90°．

∵∠C=90°，∴四邊形OECF為矩形．∵OE=OF，∴矩形OECF為正方形．

設圓O的半徑為r，則OE=OF=r，AD=AE=3﹣r，BD=4﹣r，∴3﹣r+4﹣r=5，r==1，∴S1==π；

（2）圖2，由S△ABC=×3×4=×5×CD，∴CD=．由勾股定理得：AD==，BD=5﹣=．

由（1）得：⊙O的半徑==，⊙E的半徑==，∴S1+S2==π；

（3）圖3，由S△CDB==×4×MD，∴MD=．由勾股定理得：CM==，MB==．由（1）得：⊙O的半徑=，：⊙E的半徑==，⊙F的半徑==，∴S1+S2+S3= =π，∴圖4中的S1+S2+S3+S4=π，則S1+S2+S3+…+S10=π．故答案為：π．