Question

【題目】如圖，在正方形中，點是對角線上的一點，點在的延長線上，且，交于點.

（1）證明：；

（2）如圖，把正方形改為菱形，其它條件不變，當時，連接，試探究線段與線段的數量關系，并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）AP＝CE，理由見解析.

【解析】

(1)先證出△ABP≌△CBP，得PA=PC，由于PA=PE，得PC=PE；
(2)根據已知和(1)易證△ADP≌△CDP，得PC=PE，∠DAP=∠DCP，由PA=PE，得到∠DAP=∠AEP，∠DCP=∠E，而可得∠CDE=60°，再結合三角形內角和定理可得∠EPC=60°，△EPC為等邊三角形，即可得到結論；

解：(1)證明：在正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABP＝∠CBP＝45°，

∵PB＝PB，

∴△ABP≌△CBP(SAS)，

∴PA＝PC，

∵PA＝PE，

∴PC＝PE；

(2)解：AP＝CE；

理由如下：

在菱形ABCD中，AD＝DC，∠ADP＝∠CDP＝60°，

∵PD＝PD，

∴△ADP≌△CDP(SAS)，

∴PA＝PC，∠DAP＝∠DCP，

∵PA＝PE，

∴PC＝PE，

∴∠DAP＝∠DEP，

∴∠DCP＝∠DEP

∵∠CFP＝∠EFD

∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF＝180°﹣∠DFE﹣∠DEP，

即∠CPE＝∠CDE＝180°﹣∠ADC＝180°﹣120°＝60°，

∴△EPC是等邊三角形，

∴PC＝CE，

∴ AP＝CE．