Question

【題目】（1）如圖1，在△ABC中，D是BC的中點，過D點畫直線EF與AC相交于E，與AB的延長線相交于F，使BF＝CE．

①已知△CDE的面積為1，AE＝kCE，用含k的代數式表示△ABD的面積為　 　；

②求證：△AEF是等腰三角形；

（2）如圖2，在△ABC中，若∠1＝2∠2，G是△ABC外一點，使∠3＝∠1，AH∥BG交CG于H，且∠4＝∠BCG﹣∠2，設∠G＝x，∠BAC＝y，試探究x與y之間的數量關系，并說明理由；

（3）如圖3，在（1）、（2）的條件下，△AFD是銳角三角形，當∠G＝100°，AD＝a時，在AD上找一點P，AF上找一點Q，FD上找一點M，使△PQM的周長最小，試用含a、k的代數式表示△PQM周長的最小值　 　．（只需直接寫出結果）

Answer 1

【答案】（1）①k+1；②見解析；（2）y＝x+45°，理由見解析；（3）

【解析】

（1）①先根據AE與CE之比求出△ADE的面積，進而求出ADC的面積，而D中BC中點，所以△ABD面積與△ADC面積相等；②延長BF至R，使FR＝BF，連接RC，注意到D是BC中點，過B過B點作BG∥AC交EF于G．得，再利用等腰三角形性質和判定即可解答；

（2）設∠2＝α．則∠3＝∠1＝2∠2＝2α，根據平行線性質及三角形外角性質可得∠4=α，再結合三角形內角和等于180°聯立方程即可解答；

（3）分別作P點關于FA、FD的對稱點P'、P'，則PQ+QM+PM＝P'Q+QM+MP“≥P'P'＝FP，當FP垂直AD時取得最小值，即最小值就是AD邊上的高，而AD已知，故只需求出△ADF的面積即可，根據AE＝kEC，AE＝AF，CE＝BF，可以將△ADF的面積用k表示出來，從而問題得解．

解：（1）

①∵AE＝kCE，

∴S△DAE＝kS△DEC，

∵S△DEC＝1，

∴S△DAE＝k，

∴S△ADC＝S△DAE+S△DEC＝k+1，

∵D為BC中點，

∴S△ABD＝S△ADC＝k+1．

②如圖1，過B點作BG∥AC交EF于G．

∴，

在△BGD和△CED中，

，

∴（ASA），

∴BG＝CE，

又∵BF＝CE，

∴BF＝BG，

∴，

∴

∴AF＝AE，即△AEF是等腰三角形．

（2）如圖2，設AH與BC交與點N，∠2＝α．

則∠3＝∠1＝2∠2＝2α，

∵AH∥BG，

∴∠CNH＝∠ANB＝∠3＝2α，

∵∠CNH＝∠2+∠4，

∴2α＝α+∠4，

∴∠4＝α，

∵∠4＝∠BCG﹣∠2，

∴∠BCG＝∠2+∠4＝2α，

在△BGC中， ，即：，

在△ABC中， ，即：，

聯立消去得：y＝x+45°．

（3）如圖3，作P點關于FA、FD的對稱點P'、P'，

連接P'Q、P'F、PF、P'M、P'F、P'P'，

則FP'＝FP＝FP'，PQ＝P'Q，PM＝P'M，∠P'FQ＝∠PFQ，∠P'FM＝∠PFM，

∴∠P'FP'＝2∠AFD，

∵∠G＝100°，

∴∠BAC＝∠G+45°＝120°，

∵AE＝AF，

∴∠AFD＝30°，

∴∠P'FP'＝2∠AFD＝60°，

∴△FP'P'是等邊三角形，

∴P'P'＝FP'＝FP，

∴PQ+QM+PM＝P'Q+QM+MP'≥P'P'＝FP，

當且僅當P'、Q、M、P'四點共線，且FP⊥AD時，△PQM的周長取得最小值．

，，，

，

，

當時，，

的周長最小值為．