Question

5．如圖，在平面直角坐標系中，一次函數y=kx+b（k≠0）的圖象與反比例函數y=$\frac{m}{x}$（m≠0）的圖象交于A、B兩點，與x軸交于C點，與y軸交于D點；點A的坐標為（n，6），點C的坐標為（-2，0），且tan∠ACO=2．
（1）求該反比例函數和一次函數的解析式；
（2）求點B的坐標；
（3）求△AOB的面積．

Answer 1

分析 （1）先在Rt△DOC中，利用∠DCO的正切計算出OD=4，則D（0，4），再把C點和D點坐標分別代入y=kx+b得關于k、b的方程組，解方程組求出k和b，于是得到一次函數解析式；然后利用一次函數圖象上點的坐標特征確定A（1，6），再利用反比例函數圖象上點的坐標特征求出k的值，從而得到反比例函數解析式；
（2）由兩個函數解析式組成方程組，解方程組即可得出點B的坐標；
（3）根據三角形面積公式，利用S_△ABO=S_△AOC+S_△BOC進行計算即可．

解答 解：（1）在Rt△DOC中，∵tan∠DCO=$\frac{OD}{OC}$=2，
∴OD=2OC=4，則D（0，4），
把C（-2，0），D（0，4）分別代入y=kx+b得：$\left\{\begin{array}{l}{-2k+b=0}\\{b=4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴一次函數解析式為y=2x+4；
當y=6時，2x+4=6，解得x=1，則A（1，6），
∴m=1×6=6，
∴反比例函數解析式為y=$\frac{6}{x}$；
（2）解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{6}{x}}\\{y=2x+4}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=6}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-3}&{\;}\\{y=-2}&{\;}\end{array}\right.$，
∴B（-3，-2），
（3）連接OA、OB，如圖所示：
S_△ABO=S_△AOC+S_△BOC=$\frac{1}{2}$×2×6+$\frac{1}{2}$×2×2=8

點評 本題考查了反比例函數和一次函數解析式的求法、函數圖象的交點以及三角函數；由待定系數法求出函數解析式是解決問題的關鍵．