Question

18．如圖，△ABC中，∠ACB=90°，D為AB上一點，以CD為直徑的⊙O交BC于點E，連接AE交CD于點P，交⊙O于點F，連接DF，∠CAE=∠ADF．
（1）判斷AB與⊙O的位置關系，并說明理由；
（2）若PC：AP=1：2，PF=3，求AF的長．

Answer 1

分析 （1）結論：AB是⊙O切線，連接DE，CF，由∠FCD+∠CDF=90°，只要證明∠ADF=∠DCF即可解決問題．
（2）只要證明△PCF∽△PAC，得$\frac{PC}{PA}$=$\frac{PF}{PC}$，設PC=a．則PA=2a，列出方程即可解決問題．

解答 解：（1）AB是⊙O切線．
理由：連接DE、CF．
∵CD是直徑，
∴∠DEC=∠DFC=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠DEC+∠ACE=180°，
∴DE∥AC，
∴∠DEA=∠EAC=∠DCF，
∵∠DFC=90°，
∴∠FCD+∠CDF=90°，
∵∠ADF=∠EAC=∠DCF，
∴∠ADF+∠CDF=90°，
∴∠ADC=90°，
∴CD⊥AD，
∴AB是⊙O切線．

（2）∵∠CPF=∠CPA，∠PCF=∠PAC，
∴△PCF∽△PAC，
∴$\frac{PC}{PA}$=$\frac{PF}{PC}$，
∴PC²=PF•PA，設PC=a．則PA=2a，
∴a²=3×2a，
∴a=6，
∴PA=2a=12，
則AF=12-3=9．

點評 本題考查切線的判定、相似三角形的判定和性質、圓的有關性質等知識，解題的關鍵是添加輔助線，記住直徑所對的圓周角是直角，學會用方程的思想解決問題，屬于中考常考題型．