Question

【題目】如圖，拋物線（其中m＞0）與x軸交于A、B兩點（A在B的左側），與y軸交于點C，連接AC、BC

(1)直接寫出點A、點C的坐標；

(2)當∠ACB=90°時，點D是第一象限拋物線上一動點，連接OD，當OD的長最小時，求點D的坐標；

(3)直線經過點B，與拋物線交于另一點G，點P在y軸上，點Q在拋物線上，以點B、G、P、Q為頂點的四邊形能否為矩形？若能，求出點P的坐標，若不能，請說明理由.

(4) 當tan∠CBO=時，動點P從點A出發，以每秒2個單位長度的速度沿射線AO方向勻速運動，動點Q從點B出發，以每秒1個單位長度的速度沿射線BO方向勻速運動，P、Q兩點同時運動，相遇時停止，在運動過程中，以PQ為一邊在x軸上方作正方形PQMN，設運動時間為t秒.不妨設正方形PQMN和△ABC重疊部分的面積為S，請直接寫出S關于t的函數表達式.

Answer 1

【答案】（1）A點坐標為（-2，0），C點坐標為（0，2）（2）D點坐標為（，）（3）P點為（2，-m-9）（4）當PQ≥OC時S=-2+6，當PQ＜OC時S=9t2-36t+36

【解析】

(1)C點縱坐標為當x=0時，y的值，A點橫坐標為當y=0時，x的值.

(2)先根據題意求出拋物線解析式，再設D點坐標由兩點距離公式即可得到.

(3)先求出 G點坐標，在得到GP解析式，即可求得P點坐標.

(4)先求得m的值，再分情況討論當PQ≥OC時與PQ＜OC時S的值.

（1）∵拋物線（其中m＞0）與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C

∴A點坐標為（-2，0），C點坐標為（0，2）

（2）當∠ACB=90°時，B點坐標為（2，0）此時拋物線為y=-（x+2）（x-2）=-x2+2

設D點坐標為（x，-x2+2）

則OD=

∴當x2=時，即x=時OD最小.(x=-舍去)

此時D點坐標為（，）

（3）經過點B（m，0）

∴b=-m， 即y=x-m

∵

∴x=-m-2

∴G點為（-m-2，-m-1）

∵直線與直線GP垂直

∴GP的解析式為y=-2x+b2

G點帶入得b2=-m-5

∴GP的解析式為y=-2x-m-5

∵P點在對稱軸x=2上

∴y=-2×2-m-5

∴P點為（2，-m-9）

(4) 當tan∠CBO=時,,即BO=4

∴m=4

∴拋物線解析式為

設AP=2t，BQ=t，PQ=6-3t

當PQ≥OC時，即6-3t≥2

t≤

設PN與AC交于G點，MQ與BC交于H

S=S△ABC-S△AGP-S△BHQ=×6×2-×4t2-t·t=-2+6

當PQ＜OC時，即6-3t＜2

即t＞

S=SPQMN=（6-3t）2=9t2-36t+36.

綜上，當PQ≥OC時S=-2+6，當PQ＜OC時S=9t2-36t+36.