Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC，與AC交于點D，點O是AB上一點，⊙O過B、D兩點，且分別交AB、BC于點E、F．

（1）求證：AC是⊙O的切線；
（2）已知AB=10，BC=6，求⊙O的半徑r ．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OD．

∵OB=OD，

∴∠OBD=∠ODB（等角對等邊）；

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD=∠DBC，

∴∠ODB=∠DBC（等量代換），

∴OD∥BC（內錯角相等，兩直線平行）；

又∵∠C=90°（已知），

∴∠ADO=90°（兩直線平行，同位角相等），

∴AC⊥OD，即AC是⊙O的切線；

（2）解：由（1）知，OD∥BC，

∴ （平行線截線段成比例），

∴ ，

解得r= ，即⊙O的半徑r為 ．

【解析】根據等角對等邊得到∠OBD=∠ODB，由角平分線的定義和等量代換，得到兩直線平行，根據兩直線平行，同位角相等得到AC是⊙O的切線；（2）由（1）知，OD∥BC，根據平行線截線段成比例定理，兩條直線被一組平行線所截，截得的對應線段的長度成比例；求出⊙O的半徑.
【考點精析】認真審題，首先需要了解切線的判定定理(切線的判定方法：經過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線)，還要掌握平行線分線段成比例(三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例)的相關知識才是答題的關鍵．