Question

【題目】如圖1，△ABC（AC＜BC＜AC）繞點C順時針旋轉得△DEC，射線AB交射線DE于點F．

（1）∠AFD與∠BCE的關系是　 　；

（2）如圖2，當旋轉角為60°時，點D，點B與線段AC的中點O恰好在同一直線上，延長DO至點G，使OG＝OD，連接GC．

①∠AFD與∠GCD的關系是　 　，請說明理由；

②如圖3，連接AE，BE，若∠ACB＝45°，CE＝4，求線段AE的長度．

Answer 1

【答案】（1）∠AFD＝∠BCE；（2）①∠AFD＝∠GCD或∠AFD+∠GCD＝180°；②2+2．

【解析】

（1）先判斷出∠BCE＝∠ACD，再利用三角形的內角和定理，判斷出∠ACD＝∠AFD，即可得出結論；

（2）①先判斷出∠ACD是等邊三角形，得出AD＝CD，再判斷出∠ACD＝∠AFD，進而判斷出△AOD≌△COG（SAS），得出AD＝CG，即可得出結論；

②先判斷出∠GCB＝∠BCE，進而判斷出∠GCB＝∠ACE，進而判斷出△GCB≌△ACE，得出BC＝CE＝4，最后用銳角三角函數即可得出結論．

解：（1）如圖1，

AF與CD的交點記作點N，由旋轉知，∠ACB＝∠DCE，∠A＝∠D，

∴∠BCE＝∠ACD，

∵∠ACD＝180°﹣∠A﹣∠ANC，∠AFD＝180°﹣∠D﹣∠DNF，∠ANC＝∠DNF，

∴∠ACD＝∠AFD，

∴∠AFD＝∠BCE，

故答案為：∠AFD＝∠BCE；

（2）①∠AFD＝∠GCD或∠AFD+∠GCD＝180°，

理由：如圖2，連接AD，由旋轉知，∠CAB＝∠CDE，CA＝CD，∠ACD＝60°，

∴△ACD是等邊三角形，∴AD＝CD，

∵∠AMC＝∠DMF，

∴△ACM∽△DFM，

∴∠ACD＝∠AFD，

∵O是AC的中點，

∴AO＝CO，

∵OD＝OG，∠AOD＝∠COG，

∴△AOD≌△COG（SAS），

∴AD＝CG，

∴CG＝CD，

∴∠GCD＝2∠ACD＝120°，

∴∠AFD＝∠GCD或∠AFD+∠GCD＝180°，

故答案為：∠AFD＝∠GCD或∠AFD+∠GCD＝180°；

②由①知，∠GCD＝120°，∠ACD＝∠BCE＝60°，

∴∠GCA＝∠GCD﹣∠ACD＝60°，

∴∠GCA＝∠BCE，

∵∠GCB＝∠GCA+∠ACB，∠ACE＝∠BCE+∠ACB，

∴∠GCB＝∠ACE，

由①知，CG＝CD，CD＝CA，

∴CG＝CA，

∵BC＝EC＝4，

∴△GCB≌△ACE（SAS），

∴GB＝AE，

∵CG＝CD，OG＝OD，

∴CO⊥GD，

∴∠COG＝∠COB＝90°

在Rt△BOC中，BO＝BCsin∠ACB＝2，CO＝BCcos∠ACB＝2，

在Rt△GOC中，GO＝COtan∠GCA＝2，

∴GB＝CO+BO＝2+2，

∴AE＝2+2．