Question

【題目】閱讀下列材料，解答下列問題：

材料一：一個三位以上的自然數，如果該自然數的末三位表示的數與末三位之前的數字表示的數之差是11的倍數，我們稱滿足此特征的數叫“網紅數”，如：65362，362﹣65＝297＝11×27，稱65362是“網紅數”．

材料二：對任的自然數p均可分解為P＝100x+10y+z（x≥0，0≤y≤9，0≤z≤9且x、y，z均為整數）如：5278＝52×100+10×7+8，規定：G（P）＝．

（1）求證：任兩個“網紅數”之和一定能被11整除；

（2）已知：S＝300+10b+a，t＝1000b+100a+1142（1≤a≤7，0≤b≤5，其a、b均為整數），當s+t為“網紅數”時，求G（t）的最大值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）39

【解析】

（1）設兩個“網紅數”為，，（n、b表示末三位表示的數，m、a表示末三位之前的數字），則n﹣m＝11k，b﹣a＝11h，所以+＝1001m+1001a+11（k+h）＝11（91m+91n+h+k），即可證明；

（2）s＝3×100+10b+a，t＝1000（b+1）+100（a+1）+4×10+2，所以s+t＝1000（b+1）+100（a+4）+10（b+4）+a+2；①當1≤a≤5時，s+t＝，則﹣（b+1）能被11整除，即101a+9b+441＝11×9a+2a+11b﹣2b+40×11+1能被11整除，由已知可得﹣7≤2a﹣2b+1≤11，求出a＝5，b＝0；②當6≤a≤7時，s+t＝，則﹣（b+2）能被11整除，所以101a+9b﹣560＝11×9a+2a+11b﹣2b﹣51×11+1能被11整除，可得3≤2a﹣2b+1≤15，求出a＝6，b＝1或a＝7，b＝2，分別求出相應的G（t）值即可．

解：（1）設兩個“網紅數”為，，（n、b表示末三位表示的數，m、a表示末三位之前的數字），

∴n﹣m＝11k，b﹣a＝11h，

∵+＝1001m+1001a+11（k+h）＝11（91m+91n+h+k），

∴m、a、k、h都是整數，

∴91m+91n+h+k為整數，

∴任兩個“網紅數”之和一定能被11整除；

（2）s＝3×100+10b+a，t＝1000（b+1）+100（a+1）+4×10+2，

∴s+t＝1000（b+1）+100（a+4）+10（b+4）+a+2，

①當1≤a≤5時，s+t＝，

則﹣（b+1）能被11整除，

∴101a+9b+441＝11×9a+2a+11b﹣2b+40×11+1能被11整除，

∴2a﹣2b+1能被11整除，

∵1≤a≤5，0≤b≤5，

∴﹣7≤2a﹣2b+1≤11，

∴2a﹣2b+1＝0或11，

∴a＝5，b＝0，

∴t＝1642，G（1642）＝17.25；

②當6≤a≤7時，s+t＝，

則﹣（b+2）能被11整除，

∴101a+9b﹣560＝11×9a+2a+11b﹣2b﹣51×11+1能被11整除，

∴2a﹣2b+1能被11整除，

∵6≤a≤7，0≤b≤5，

∴3≤2a﹣2b+1≤15，

∴2a﹣2b+1＝11，

∴a＝6，b＝1或a＝7，b＝2，

∴t＝2742或3842，

∴G（2742）＝28或G（3842）＝39，

∴G（t）的最大值39．