Question

【題目】閱讀材料并解答下列問題：如圖1，把平面內一條數軸繞原點逆時針旋轉角得到另一條數軸軸和軸構成一個平面斜坐標系

規定：過點作軸的平行線，交軸于點，過點作軸的平行線，交軸于點，若點在軸對應的實數為，點在軸對應的實數為，則稱有序實數對為點在平面斜坐標系中的斜坐標．如圖2，在平面斜坐標系中，已知，點的斜坐標是，點的斜坐標是

（1）連接，求線段的長；

（2）將線段繞點順時針旋轉到（點與點對應），求點的斜坐標；

（3）若點是直線上一動點，在斜坐標系確定的平面內以點為圓心，長為半徑作，當⊙與軸相切時，求點的斜坐標，

Answer 1

【答案】（1）；（2）點的斜坐標為（9，）；（3）點D的斜坐標為：（，3）或（6，12）．

【解析】

（1）過點P作PC⊥OA，垂足為C，由平行線的性質，得∠PAC=，由AP=6，則AC=3，，再利用勾股定理，即可求出OP的長度；

（2）根據題意，過點Q作QE∥OC，QF∥OB，連接BQ，由旋轉的性質，得到OP=OQ，∠COP=∠BOQ，則△COP≌△BOQ，則BQ=CP=3，∠OCP=∠OBQ=120°，然后得到△BEQ是等邊三角形，則BE=EQ=BQ=3，則OE=9，OF=3，即可得到點Q的斜坐標；

（3）根據題意，可分為兩種情況進行①當OP和CM恰好是平行四邊形OMPC的對角線時，此時點D是對角線的交點，求出點D的坐標即可；②取OJ=JN=CJ，構造直角三角形OCN，作∠CJN的角平分線，與直線OP相交與點D，然后由所學的性質，求出點D的坐標即可．

解：（1）如圖，過點P作PC⊥OA，垂足為C，連接OP，

∵AP∥OB，

∴∠PAC=，

∵PC⊥OA，

∴∠PCA=90°，

∵點的斜坐標是，

∴OA=3，AP=6，

∴，

∴，

∴，，

在Rt△OCP中，由勾股定理，得

；

（2）根據題意，過點Q作QE∥OC，QF∥OB，連接BQ，如圖：

由旋轉的性質，得OP=OQ，∠POQ=60°，

∵∠COP+∠POA=∠POA+∠BOQ=60°，

∴∠COP=∠BOQ，

∵OB=OC=6，

∴△COP≌△BOQ（SAS）；

∴CP=BQ=3，∠OCP=∠OBQ=120°，

∴∠EBQ=60°，

∵EQ∥OC，

∴∠BEQ=60°，

∴△BEQ是等邊三角形，

∴BE=EQ=BQ=3，

∴OE=6+3=9，OF=EQ=3，

∵點Q在第四象限，

∴點的斜坐標為（9，）；

（3）①取OM=PC=3，則四邊形OMPC是平行四邊形，連接OP、CM，交點為D，如圖：

由平行四邊形的性質，得CD=DM，OD=PD，

∴點D為OP的中點，

∵點P的坐標為（3，6），

∴點D的坐標為（，3）；

②取OJ=JN=CJ，則△OCN是直角三角形，

∵∠COJ=60°，

∴△OCJ是等邊三角形，

∴∠CJN=120°，

作∠CJN的角平分線，與直線OP相交于點D，作DN⊥x軸，連接CD，如圖：

∵CJ=JN，∠CJD=∠NJD，JP=JP，

∴△CJD≌△NJD（SAS），

∴∠JCD=∠JND=90°，

則由角平分線的性質定理，得CD=ND；

過點D作DI∥x軸，連接DJ，

∵∠DJN=∠COJ=60°，

∴OI∥JD，

∴四邊形OJDI是平行四邊形，

∴ID=OJ=JN=OC=6，

在Rt△JDN中，∠JDN=30°，

∴JD=2JN=12；

∴點D的斜坐標為（6，12）；

綜合上述，點D的斜坐標為：（，3）或（6，12）．