Question

2．在長方形ABCD中，點E是AD的中點，將△ABE沿BE折疊后得到對應的△GBE，將BG延長交直線DC于點F．
（1）如果點G在長方形ABCD的內部，如圖①所示．
Ⅰ）求證：GF=DF；
Ⅱ）若DF=$\frac{1}{2}$DC，AD=4，求AB的長度．
（2）如果點G在長方形ABCD的外部，如圖②所示，DF=kDC（k＞1）．請用含k的代數式表示$\frac{AD}{AB}$的值
．

Answer 1

分析 （1）、Ⅰ）、求簡單的線段相等，可證線段所在的三角形全等，即連接EF，證△EGF≌△EDF即可；
Ⅱ）、可設DF=x，BC=y；進而可用x表示出DC、AB的長，根據折疊的性質知AB=BG，即可得到BG的表達式，由（1）證得GF=DF，那么GF=x，由此可求出BF的表達式，進而可在Rt△BFC中，根據勾股定理求出x、y的比例關系，即可得到$\frac{AD}{AB}$的值，代值即可得出結論；
（2）方法同（2）．

解答 解：（1）、
Ⅰ）、連接EF，
根據翻折的性質得，∠EGF=∠D=90°，
EG=AE=ED，EF=EF，
在Rt△EGF和Rt△EDF中，$\left\{\begin{array}{l}{EG=ED}\\{EF=EF}\end{array}\right.$，
∴Rt△EGF≌Rt△EDF（HL），
∴GF=DF；

Ⅱ）由（1）知，GF=DF，設DF=x，BC=y，則有GF=x，AD=y
∵DC=2DF，
∴CF=x，DC=AB=BG=2x，
∴BF=BG+GF=3x；
在Rt△BCF中，BC²+CF²=BF²，即y²+x²=（3x）²
∴y=2$\sqrt{2}$x，
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{y}{2x}$=$\sqrt{2}$；
∵AD=4，
∴AB=2$\sqrt{2}$
（3）由（1）知，GF=DF，設DF=x，BC=y，則有GF=x，AD=y
∵DC=k•DF，
∴BF=BG+GF=（k+1）x
在Rt△BCF中，BC²+CF²=BF²，
即y²+[（k-1）x]²=[（k+1）x]²
∴y=2x$\sqrt{k}$，
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{y}{kx}$=$\frac{2\sqrt{k}}{k}$．

點評 此題是折疊問題，主要考查了矩形的性質、圖形的折疊變換、全等三角形的判定和性質、勾股定理的應用等重要知識，難度適中．用勾股定理表示出y是解本題的關鍵．