Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，AB=2，M為CD的中點，N為BC的中點，連接AM和DN交于點E，連接BE，作AH⊥BE于點H，延長AH與DN交于點F．連接BF并延長與CD交于點G，則MG的長度為__________．

Answer 1

【答案】

【解析】

要求MG的長度，需要先求出CG的長，過F作PQ‖BC，連接MF，設出MQ，根據三角形相似分別表示出AP，PF，QF的長，根據勾股定理求出MQ的長，再根據△FGQ△BGC求出CG的長即可求MG的長．

如圖：

過點F作PQ平行于BC，分別交AB，DC于點P，點Q，連接MF；

∴∠APF=∠MQF=90°，

設MQ=x，則QD=x+1=AP，

∵在正方形ABCD中，AB=2，M為CD的中點，N為BC的中點，

∴MD=NC=AB=1,

又AD=CD,

∴△AMD△DNC,

∴∠NDC=∠DAM,

∴∠DEM=90°，

又∠MDE=∠FDQ，

∴△DEM△FDQ，

∴ ,

又∵∠DEM=90°，∠MDE=∠NDC,

∴△DEM△DNC，

∴，

∴DE=2ME，

∵DM=1，由勾股定理可得：ME=，DE= ，代入，

∴DQ=2QF，

∴QF=，

∴PF=2-QF= 2-=，

在Rt△AMD中，AD=2，DM=1，

∴AM=，

∴，

∵，

∴=，

整理得：，

解得：x=，x=-1（舍去），

又∠FGQ=∠BGC，∠C=∠C，

∴△FGQ△BGC，

∴即，

∵QC=CD-DQ=1-x，

∴，

解得：GC=，

∴MG=MC-GC=1-=，

故答案為：．