Question

【題目】如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0），B（5，0）兩點，直線y＝﹣ x+3與y軸交于點C，與x軸交于點D．點P是直線CD上方的拋物線上一動點，過點P作PF⊥x軸于點F，交 線段CD于點E，設點P的橫坐標為m．

（1）求拋物線的解析式；

（2）求PE的長最大時m的值．

（3）Q是平面直角坐標系內一點，在（2）的情況下，以P、Q、C、D為頂點的四邊形是平行四邊形是否存在？若存在，請直接寫出存在 個滿足題意的點．

Answer 1

【答案】（1）（2）當時,的長最大（3）

【解析】

（1）根據待定系數法求解即可；

（2）設點的坐標為、點的坐標為，列出，根據二次函數的圖象性質求解即可；

（3）分以為對角線時、以為對角線時、以為對角線時三種情況進行討論求解即可．

解：（1）∵拋物線與軸交于、兩點

∴將、兩點代入，得：

∴

∴拋物線的解析式為：．

（2）∵直線與軸交于點，與軸交于點

∴點的坐標為，點的坐標為

∴

∵點的橫坐標為

∴點的坐標為，點的坐標為

∴

∵，

∴當時,的長最大．

（3）∵由（2）可知，點的坐標為：

∴以、、、為頂點的四邊形是平行四邊形分為三種情況，如圖：

①以為對角線時

∵點的坐標為：，點的坐標為，點的坐標為

∴點的坐標為，即；

②以為對角線時

∵點的坐標為：，點的坐標為，點的坐標為

∴點的坐標為，即；

③以為對角線時

∵點的坐標為：，點的坐標為，點的坐標為

∴點的坐標為，即．

∴綜上所述，在（2）的情況下，存在以、、、為頂點的四邊形是平行四邊形，點的坐標為：、或

∴存在個滿足題意的點．