Question

【題目】如圖，對稱軸為直線x=2的拋物線y=x2+bx+c與x軸交于點A和點B，與y軸交于點C，且點A的坐標為（﹣1，0）
注：二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的頂點坐標為（﹣ ， ）

（1）求拋物線的解析式；
（2）直接寫出B、C兩點的坐標；
（3）求過O，B，C三點的圓的面積．（結果用含π的代數式表示）

Answer 1

【答案】
（1）

解：由A（﹣1，0），對稱軸為x=2，可得 ，解得 ，

∴拋物線解析式為y=x2﹣4x﹣5；

（2）

解：由A點坐標為（﹣1，0），且對稱軸方程為x=2，可知AB=6，

∴OB=5，

∴B點坐標為（5，0），

∵y=x2﹣4x﹣5，

∴C點坐標為（0，﹣5）；

（3）

解：如圖，連接BC，則△OBC是直角三角形，

∴過O、B、C三點的圓的直徑是線段BC的長度，

在Rt△OBC中，OB=OC=5，

∴BC=5 ，

∴圓的半徑為 ，

∴圓的面積為π（ ）2= π．

【解析】本題為二次函數的綜合應用，涉及知識點有二次函數的性質、待定系數法、勾股定理、圓周角定理等．本題屬于基礎性的題目，難度不大．（1）利用對稱軸方程可求得b，把點A的坐標代入可求得c，可求得拋物線的解析式；（2）根據A、B關于對稱軸對稱可求得點B的坐標，利用拋物線的解析式可求得B點坐標；（3）根據B、C坐標可求得BC長度，由條件可知BC為過O、B、C三點的圓的直徑，可求得圓的面積．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用二次函數的性質和圓周角定理的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小；頂點在圓心上的角叫做圓心角;頂點在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個交點的角叫做圓周角;一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半．