Question

【題目】如圖，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分別為D，E，AD與BE相交于點F．

（1）求證：△ACD∽△BFD；
（2）當tan∠ABD=1，AC=3時，求BF的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵AD⊥BC，BE⊥AC，

∴∠BDF=∠ADC=∠BEC=90°，

∴∠C+∠DBF=90°，∠C+∠DAC=90°，

∴∠DBF=∠DAC，

∴△ACD∽△BFD．

（2）解：∵tan∠ABD=1，∠ADB=90°

∴ =1，

∴AD=BD，

∵△ACD∽△BFD，

∴ = =1，

∴BF=AC=3．

【解析】本題考查相似三角形的判定和性質、三角函數等知識，解題的關鍵是熟練掌握相似三角形的判定和性質，屬于中考常考題型．（1）由∠C+∠DBF=90°，∠C+∠DAC=90°，推出∠DBF=∠DAC，由此即可證明．（2）先證明AD=BD，由△ACD∽△BFD，得 = =1，即可解決問題．