Question

【題目】直線y=﹣x+分別與x軸、y軸交于A、B兩點，⊙E經過原點O及A、B兩點，C是⊙E上一點，連接BC交OA于點D，∠COD=∠CBO．

（1）求A、B、C三點坐標；

（2）求經過O、C、A三點的拋物線解析式；

（3）直線AB上是否存在點P，使得△COP的周長最小？若存在，請求出P點坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）點A（3，0），點B（0，），點C（，）；（2）y=x2﹣x；（3）點P的坐標為（，）．

【解析】分析：（1）由直線y=-x+分別與x軸、y軸交于A、B兩點，即可求得點A與點B的坐標，然后連接EC，交x軸于點H，由∠COD=∠CBO，根據垂徑定理的即可求得OH與AH的長，由勾股定理，可求得AB的長，EH的長，繼而求得點C的坐標；
（2）利用待定系數法即可求得經過O、C、A三點的拋物線解析式；
（3）由OC已知，可得當OP+CP最小時，△COP的周長最小；過點O作OF⊥AB于點F，并延長交⊙O于點K，連接CK交直線AB于點P，此點即為所求；易證得CK是直徑，則可得點P與點E重合，繼而求得P點坐標．

詳解：（1）∵直線y=﹣x+分別與x軸、y軸交于A、B兩點，

∴當x=0時，y=，當y=0時，x=3，

∴點A（3，0），點B（0，）

∴AB==2，

∴AE=BE=AB=，

如圖1，連接EC，交x軸于點H，

∵∠COD=∠CBO，

∴，

∴EC⊥OA，OC=AC，

∴OH=AH=OA=，

在Rt△AEH中，EH==，

∴CH=EC﹣EH=，

∴點C的坐標為（，﹣）；

（2）設經過O、C、A三點的拋物線的解析式為y=ax（x﹣3），

∵點C的坐標為（，﹣）；

∴﹣=a××（﹣3），

解得：a=，

∴經過O、C、A三點的拋物線的解析式為：y=x2﹣x；

（3）存在．

∵OC=，

∴當OP+CP最小時，△COP的周長最小，

如圖2，過點O作OF⊥AB于點F，并延長交⊙O于點K，連接CK交直線AB于點P，此點P即為所求；

∵∠OAB=30°，

∴∠AOF=60°，

∵∠COD=30°，

∴∠COK=90°，

∴CK是直徑，

∵點P在直線AB上，

∴點P與點E重合；

∵點E的橫坐標為：，

∴y=﹣×+=，

∴點P的坐標為（，）．