Question

如圖，在平面直角坐標系中，有一直角△ABC，且A（0，5），B（-5，2），C（0，2），并已知△AA₁C₁是由△ABC經過旋轉變換得到的．
（1）問由△ABC旋轉得到的△AA₁C₁的旋轉角的度數是多少？并寫出旋轉中心的坐標；
（2）請你畫出仍以（1）中的旋轉中心為旋轉中心，將△AA₁C₁、△ABC分別按順時針、逆時針各旋轉90°的兩個三角形，并寫出變換后與A₁相對應點A₂的坐標；
（3）利用變換前后所形成圖案證明勾股定理（設△ABC兩直角邊為a、b，斜邊為c）．

Answer 1

分析：（1）圖象的旋轉可以利用某點的旋轉來找到旋轉的角度和旋轉中心；
（2）在解決題中第2問時，還需認真分析、觀察旋轉前后圖案的特征，并利用其面積關系來驗證勾股定理．
（3）利用正方形的面積的不同計算方法進行驗證勾股定理．

解答：解：（1）旋轉角為90°，中心坐標為（-1，1）；
（2）如圖，點A₁對應點A₂的坐標為（-2，-3）；
（3）證明：正方形AA₁A₂B面積c²，正方形C₁C₂C₃C的面積（b-a）²，
設AC=b，BC=a，
則c2-(b-a)2=4×

1

2

ba
c²-b²+2ab-a²=2ba
∴c²=b²+a²

點評：本題考查了如何利用旋轉來設計圖案，同時也是考查點的坐標變化．在一定程度上也可以認為是考查學生的動手操作的能力和空間想象的能力．