Question

如圖，已知等邊△ABC中，D、E兩點在直線BC上，且∠DAE＝120°.
⑴判斷△ABD是否與△ECA相似，并說明你的理由；
⑵當CE·BD＝16時，求△ABC的周長.

Answer 1

解：⑴證明：∵△ABC是等邊三角形，∴∠BAC＝60°.
∵∠DAE＝120°，∴∠DAB＋∠CAE＝60°.
∵∠DAB＋∠D＝∠ABC＝60°，∴∠D＝∠CAE.
∵∠DBA＝∠ACE＝120°，∴△ABD∽△ACE；
⑵解：∵△ABD∽△ACE，∴，即AB·AC＝BD·CE.
∵BD·CE＝16，∴AB·AC＝16.
∵AB＝AC，∴，∴AB＝4，
∴△ABC的周長為12.

（1）由△ABC是等邊三角形得到∠BAC＝60°，則∠DAB＋∠CAE＝60°，再由∠DAB＋∠D＝∠ABC＝60°，得∠D＝∠CAE，再有∠DBA＝∠ACE＝120°，即得△ABD∽△ACE；
（2）根據相似三角形的對應邊成比例即可求得結果。