Question

【題目】如圖，四邊形 ABCD 中，E、F、G、H 分別為各邊的中點，順次連 結 E、F、G、H，把四邊形 EFGH 稱為中點四邊形．連結 AC、BD，容易證明：中點 四邊形 EFGH 一定是平行四邊形．

(1)如果改變原四邊形 ABCD 的形狀，那么中點四邊形的形狀也隨之改變，通過探索 可以發現：當四邊形 AB CD 的對角線滿足 AC＝BD 時，四邊形 EFGH 為菱形；當四邊形ABCD 的對角線滿足 時，四邊形 EFGH 為矩形；當四邊形 ABCD 的對角線滿足 時，四邊形 EFGH 為正方形．

(2)試證明：S△AEH＋S△CFG＝ S□ ABCD

(3)利用(2)的結論計算：如果四邊形 ABCD 的面積為 2012， 那么中點四邊形 EFGH 的面積是 （直接將結果填在 橫線上）

Answer 1

【答案】;（2）詳見解析；（3）1006

【解析】

（1）若四邊形EFGH為矩形，則應有EF∥HG∥AC，EH∥FG∥BD，EF⊥EH，故應有AC⊥BD；若四邊形EFGH為正方形，同上應有AC⊥BD，又應有EH=EF，而EF=AC，EH=BD，故應有AC=BD．
（2）由相似三角形的面積比等于相似比的平方求解．
（3）由（2）可得SEFGH=S四邊形ABCD=1

（1）解：若四邊形EFGH為矩形，則應有EF∥HG∥AC，EH∥FG∥BD，EF⊥EH，故應有AC⊥BD；
若四邊形EFGH為正方形，同上應有AC⊥BD，又應有EH=EF，而EF= AC，EH=BD，故應有AC=BD；
（2）S△AEH+S△CFG=S四邊形ABCD
證明：在△ABD中，
∵EH=BD，
∴△AEH∽△ABD．
∴=()2=
即S△AEH=S△ABD
同理可證：S△CFG=S△CBD
∴S△AEH+S△CFG=（S△ABD+S△CBD）=S四邊形ABCD；

（3）解：由（2）可知S△AEH+S△CFG=（S△ABD+S△CBD）=S四邊形ABCD，
同理可得S△BEF+S△DHG=（S△ABC+S△CDA）=S四邊形ABCD，
故SEFGH=S四邊形ABCD=1006．